2. Системы с тремя неизвестными

Общий вид такой системы следующий

Забегая вперед (см. тему «Аналитическая геометрия»), скажем, что каждое из уравнений системы (1) при условии задает в пространствеплоскость(i=1,2,3) . Тем самым решение системы (1) геометрически интерпретируется как поиск пересечения трех плоскостей в пространстве. В случаенадо посмотреть на правую часть. Если, то i-ое уравнение есть тождество, и его можно отбросить. Если же, то уравнениене имеет решений, а тогда и вся система (1) не имеет решений.

В единственно возможном случае, когда все коэффициенты, как в левой, так и в правой части (1) равны 0, получаем все пространство -- множество в качестве ответа.

Считаем, что , i=1,2,3. Тогда качественно ответ мы можем сформулировать так: а) решение единственно, если плоскостинаходятся в общем положении, т.е. пересекаются в одной точке; б) множество решений заполняет прямую, еслипрямая; в) множество решений заполняет плоскость, если; г) множество решений пусто, если одна из плоскостей параллельна другой или если одна из плоскостей параллельна прямой, по которой пересекаются две оставшиеся плоскости.

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений c n неизвестными называют систему вида

Здесь -ые и-ые -- коэффициенты системы, т.е. какие-либо числа. Решением этой и любой другой, необязательно линейной системы, называется строка чисел длины n при подстановке которой в каждое из уравнений системы вместополучаются верные равенства. Линейная система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и называется несовместной в противном случае. Совместная система называется определенной, если она имеет в точности одно решение и называется неопределенной, если система имеет более одного решения.

Пусть имеются две системы уравнений (не обязательно линейных) с одним и тем же набором неизвестных -- "новая" и "старая". Новая система есть следствие старой, если всякое решение старой системы одновременно есть решение новой системы. Две таких системы уравнений называются эквивалентными, если их множества решений совпадают, иными словами, если каждая из них есть следствие другой.

Решать систему (1) будем методом последовательного исключения неизвестных или иначе методом Гаусса.

Элементарными преобразованиями линейной системы уравнений называется:

(1 тип) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на какое-либо число;

(2 тип) перестановка двух уравнений;

(3 тип) умножение какого-либо уравнения системы на ненулевое число;

(4 тип) отбрасывание или дописывание нулевого уравнения.

Предложение 1.Любое элементарное преобразование обратимо, то есть существует элементарное преобразование, применение которого к полученной системе, возвращает ее в исходное состояние.

Действительно, если к i-му уравнению мы прибавили j-ое уравнение, умноженное на число , то от новой системы можно перейти к старой, прибавляя к i-му уравнению j-оу, умноженное на число. Для перестановки двух уравнений обратным преобразованием является сама эта перестановка. Если умножить уравнение на ненулевое число k, а затем умножить это же уравнение на, то приходим к исходной системе. Четвертый тип элементарных преобразований обратим по определению.

Как следствие получаем

Предложение 2. При элементарном преобразовании получается система, эквивалентная исходной.

Доказательство. При применении элементарного преобразования получается система, являющаяся следствием исходной. Далее следует использовать предложение 1.

Процесс элементарных преобразований имеет конечную цель -- ступенчатый вид системы. При этом система имеет ступенчатый вид, если первое ненулевое слагаемое каждого последующего уравнения стоит правее, чем первое ненулевое слагаемое предыдущего уравнения.

Теорема.Любую систему линейных уравнений элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство. Считаем, что один из коэффициентов, стоящих в первом столбце, не равен 0. Иначе переходим к следующему столбцу и так далее пока не наткнемся на столбец, имеющий хотя бы один, отличный от нуля коэффициент. Если такового не окажется, то есть все и всето доказывать нечего -- система уже имеет ступенчатый вид. Итак, пустьдля некоторого индекса i. Совершив, если нужно, (т.е. если), элементарное преобразование третьего типа -- перестановка первого и i-го уравнения, добьемся того, что на месте (1,1) будет стоять не равный нулю коэффициент. Переобозначим коэффициенты так, что именно. Тогда, прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на, "занулим" коэффициент, стоящий на месте (2,1). Аналогичными преобразованиями занулим коэффициенты, стоящие на местах (3,1),...,(m,1). Получим следующую систему:

Применим предположение индукции к последним n-1 -- уравнению системы (2) и приведем эту "подсистему" к ступенчатому виду. Тогда и вся система (2) примет ступенчатый вид.