Лекции танкеева

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

С.Г.Танкеев

1. Каноническое уравнение эллипса

Расстояние между двумя точками M(x1; y1), N(x2; y2) на плоскости вычисляется по формуле

p

= (x2 x1)2 + (y2 y1)2:

Фиксируем точки F1 и F2. Эллипсом с фокусами F1; F2 называется множество таких точек (x; y), что сумма расстояний от точки (x; y) до фокусов равна постоянному числу:

pp

p

a(x c)2 + y2 = a2 xc;

a2((x c)2 + y2) = a4 2a2xc + x2c2; a2(x2 2xc + c2 + y2) = a4 2a2xc + x2c2;

x2(a2 c2) + y2a2 = a4 a2c2; x2(a2 c2) + y2a2 = a2(a2 c2):

В нашем случае 1 + 2 = 2a > 2c, поэтому a > c, и можно разделить последнее из уравнений на a2(a2 c2). Получим уравнение

x2 y2

a2 + a2 c2 = 1:

p

Положим b = a2 c2. Получим каноническое уравнение эллипса

2. Каноническое уравнение гиперболы

По определению, уравнение гиперболы с фокусами F1; F2 имеет вид

j 1 2j = 2a:

p

Возьмем F1 = ( c; 0), F2 = (c; 0), где c 0. Тогда 1 = (x + c)2 + y2, 2 =

p

(x c)2 + y2. Имеем:

3) Линейность по строке: a)

Доказательство.

4) Если в квадратной матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Обозначим определитель матрицы через d. Если поменять местами две одинаковые строки, то определитель матрицы умножится на ( 1); с другой стороны, он не изменится, потому что матрица не изменилась. Значит, ( 1)d = d, поэтому 2d = 0. Поскольку d 2 R, то мы получаем соотношение d = 0.

5. Правило Крамера

Теорема (правило Крамера). Рассмотрим систему линейных уравнений

8

>a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

>

>

<a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

>: : : : : : : : : : : : : : :

>

>

:an1x1 + an2x2 + + annxn = bn:

Если

то система имеет единственное решение ( 1; 2; : : : ; j; : : : ; n), где

Доказательство (в случае n = 2). Имеем систему

(

a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2:

По условию,

Из свойств определителей легко следует, что

поэтому

b1 a12

x1 = b2 a22 :

Аналогично

a11 b1

x2 = a21 b2 :

Теорема Крамера доказана.

6. Векторные пространства. Примеры линейных пространств. Линейно независимые векторы. Базис. Размерность

Определение. Множество E называется векторным (линейным) пространством , на E определены операции сложения и умножения на числа из поля R так, что выполнены следующие аксиомы:

1)~x + (~y + ~z) = (~x + ~y) + ~z,

2)~x + ~y = ~y + ~x,

5)1 ~x = ~x,

6)( + )~x = ~x + ~x,

7)( )~x = ( ~x),

8) (~x + ~y) = ~x + ~y.

Примеры. 1) E = R с обычными операциями сложения и умножения.

2)E – плоскость с отмеченной точкой 0. В любую точку плоскости из точки 0 можно направить стрелку; сложение определяется по правилу параллелограмма: ~x + ~y – это диагональ параллелограмма со сторонами ~x и ~y.

3)E – трехмерное пространство с отмеченной точкой 0.

кажем, что эти векторы линейно независимы. Пусть Lj – прямая, проходящая через

одной плоскости. Тогда эти векторы линейно независимы (доказывается аналогично).

Басня Крылова о линейно зависимых векторах. Имеем соотношение

Определение. Система векторов ~e1;~e2; : : : ; ~en называется базисом пространства E , 1) векторы ~e1;~e2; : : : ; ~en линейно независимы;

2) 8~x 2 E 9xi 2 R ~x = x1~e1 + + xn~en.

6 ~

Примеры. 1) E = R, ~e1 = 0. Любой вектор на прямой E пропорционален вектору e1 с коэффициентом пропорциональности x1: ~x = x1~e1. Поскольку ~e1 линейно независим, то он образует базис прямой E.

2) E – плоскость с отмеченной точкой 0, ~e1;~e2 не лежат на одной прямой. Мы уже знаем, что эти векторы линейно независимы. Для любого вектора ~x рассмотрим проекции ~x на оси ~e1; ~e2. Эти проекции равны соответсвенно x1~e1; x2~e2, причем вектор ~x является диагональю в соответствующем параллелограмме, и поэтому ~x = x1~e1 + x2~e2. Значит, ~e1; ~e2 образуют базис плоскости.

3) E – трехмерное пространство с отмеченной точкой 0, ~e1; ~e2;~e3 не лежат на одной плоскости. Тогда эти векторы образуют базис (доказывается аналогично).

n) E = Rn, ~e1 = (1; 0; : : : ; 0); ~e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ~en = (0; 0; : : : ; 1).

~

Пусть 1~e1 + + n~en = 0. Тогда

1(1; 0; : : : ; 0) + 2(0; 1; : : : ; 0) + + n(0; 0; : : : ; 1) = (0; 0; : : : ; 0);

т.е. ( 1; 2; : : : ; n) = (0; 0; : : : ; 0) и, следовательно, 1 = 2 = = n = 0. Поэтому векторы ~e1; ~e2; : : : ; ~en линейно независимы.

Сдругой стороны, любой вектор ~x 2 Rn имеет вид

~x = (x1; x2; : : : ; xn) = x1(1; 0; : : : ; 0) + x2(0; 1; : : : ; 0) + + xn(0; 0; : : : ; 1) =

x1~e1 + x2~e2 + + xn~en;

поэтому ~e1; ~e2; : : : ;~en – стандартный базис Rn.

Теорема (без доказательства). В любом линейном пространстве E существует базис (быть может, бесконечный).

Определение. Пространство E называется конечномерным , в E существует конечный базис ~e1; : : : ;~en.

Теорема (без доказательства). Если ~e1; : : : ; ~en – базис E, то любой другой базис пространства E состоит из n элементов. Число n называется размерностью E и обозначается dimR E (или просто через dim E (dimension=размерность)).

Пример. dim Rn = n.

Определение. Пусть ~e1; : : : ; ~en базис E. Тогда 8~x 2 E ~x = x1~e1 + +xn~en. Набор чисел (x1; : : : ; xn) называется набором координат вектора ~x относительно базиса

~e1; : : : ;~en.

Замечание. Координаты (x1; : : : ; xn) определены единственным образом: если (x01; : : : ; x0n) – другой набор координат вектора ~x относительно базиса ~e1; : : : ;~en, то

~x = x1~e1 + + xn~en = x01~e1 + + x0n~en )

поэтому из линейной независимости базисных векторов ~e1; : : : ; ~en следует, что x1 x01 = = xn x0n = 0, т.е. xj = x0j.

7. Скалярное произведение. Примеры скалярных произведений. Неравенство Коши – Шварца

Определение. Пусть E – линейное пространство над полем R вещественных чисел. Скалярным произведением на пространстве E называется функция E E ! R, которая каждой паре векторов ~x; ~y 2 E ставит в соответствие вещественное число (~x; ~y) 2 R так, что выполняются следующие аксиомы:

1)(~x; ~y) = (~y; ~x);

2)(~x + ~y; ~z) = (~x; ~z) + (~y; ~z);

3)( ~x; ~y) = (~x; ~y);

4)8~x 6= 0 (~x; ~x) > 0.

Примеры. 1) E = R, (~x; ~y) = xy – обычное произведение чисел; аксиома 4 имеет

–стандартное скалярное произведение в пространстве Rn.

3)E = C(a; b) – пространство функций, непрерывных на отрезке [a; b]. Это пространство не имеет конечного базиса (т.е. является бесконечномерным). Для функций f; g 2 E определим скалярное произведение формулой

Теорема доказана.

Пример. Пусть E = Rn со стандартным скалярным произведением. Тогда (~x; ~y) =

pp

9. Ортогональность векторов. Теорема Пифагора. Ортонормированные базисы. Скалярное произведение в ортонормированном базисе, норма вектора и угол между векторами