Лекции танкеева

Теорема (без доказательства). Любая изометрия : H ! H плоскости Лобачевского имеет вид

40. Классификация поверхностей 2-го порядка в 3-мерном пространстве

В 3-мерном евклидовом пространстве с ортонормированным базисом ~e1; ~e2; ~e3 рассмотрим поверхность 2-го порядка, заданную уравнением

f(~x) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3+

a22x22 + 2a23x2x3 + a33x23 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = 0;

y1(q11~e1 + q21~e2 + q31~e3) + y2(q12~e1 + q22~e2 + q32~e3) + y3(q13~e1 + q23~e2 + q33~e3):

Сравнивая коэффициенты при ~ej в левой и правой частях, получим:

8

>x1 = q11y1 + q12y2 + q13y3

<

x2 = q21y1 + q22y2 + q23y3

>

:x3 = q31y1 + q32y2 + q33y3:

Подставляя эти выражения в уравнение поверхности, получим уравнение

(конус).

Далее мы можем считать, что 2 6= 0; 3 = 0. Тогда уравнение поверхности принимает вид

>

:

Тогда уравнение поверхности приводится к виду

1z12 + 2z22 + b3z3 = c0:

Если b3 6= 0, то мы можем сделать замену координат

8

>z1 = t1

<

z2 = t2

>

:z3 + c0 = t3;

b3

и уравнение поверхности приводится к виду

сти принимает канонический вид

(эллиптический параболоид); случай b3 < 0 сводится к предыдущему заменой t3 на

(гиперболический параболоид); случай b3 < 0 сводится к предыдущему заменой t3 на t3 и не дает ничего нового.

Далее можно считать, что b3 = 0 (в этом случае уравнение поверхности не содержит переменной t3 или 2 = 0 (в этом случае уравнение поверхности не содержит переменной t2). В обоих случаях мы имеем дело с цилиндрами, основаниями которых служат кривые 2-го порядка. Так как кривые 2-го порядка классифицированы (существуют 9 типов), то каждый из этих типов дает соответствующий цилиндр.

Очевидно, цилиндры 2-го порядка задаются следующими каноническими уравнениями:

12) параболический цилиндр z2 = 2pz1;

13) цилиндр над парой мнимых пересекающихся в одной вещественной точке пря-

z2 z2

мых a12 + b22 = 0 (пара мнимых плоскостей, пересекающихся вдоль вещественной прямой);

14) цилиндр над парой вещественных прямых, пересекающихся в одной веще-

z2 z2

ственной точке a12 b22 = 0 (пара вещественных плоскостей, пересекающихся вдоль прямой);

z2

15) цилиндр над парой параллельных вещественных прямых a12 = 1 (пара параллельных плоскостей);

z2

16) цилиндр над парой параллельных мнимых прямых a12 = 1 (пара параллельных мнимых плоскостей);

17) цилиндр над парой совпадающих вещественных прямых z12 = 0 (пара совпадающих плоскостей).

Мы доказали следующую теорему:

Теорема. Существуют 17 классов поверхностей 2-го порядка: 1) эллипсоид; 2) мнимый эллипсоид;

3) мнимый конус;

4) однополостный гиперболоид;

5) двуполостный гиперболоид;

6) конус;

7) эллиптический параболоид;

8) гиперболический параболоид;

9) эллиптический цилиндр;

10) мнимый эллиптический цилиндр;

11) гиперболический цилиндр;

12)параболический цилиндр;

13)цилиндр над парой мнимых пересекающихся в одной вещественной точке прямых (пара мнимых плоскостей, пересекающихся вдоль вещественной прямой);

14)цилиндр над парой вещественных прямых, пересекающихся в одной вещественной точке (пара вещественных плоскостей, пересекающихся вдоль прямой);

15)цилиндр над парой параллельных вещественных прямых (пара параллельных плоскостей);

16)цилиндр над парой параллельных мнимых прямых (пара параллельных мнимых плоскостей);

17)цилиндр над парой совпадающих вещественных прямых (пара совпадающих плоскостей).

41.Прямые на однополостном гиперболоиде

Пусть однополостный гиперболоид задается своим каноническим уравнением

Для каждой пары чисел ( ; ) наши уравнения (41:2) определяют пару плоскостей, пересекающихся по прямой, и эта прямая целиком лежит на однополостном гиперболоиде, так как решение системы уравнений (41:2) дает решение уравнения

(41:1).

В итоге мы получили семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида, которое мы обозначим через I. Оно зависит от одного параметра u = = . Аналогично уравнениям (41:2) можно было бы для любой пары чисел ( 0; 0) 6= (0; 0) рассмотреть систему уравнений

определяющую прямую, лежащую на однополостном гиперболоиде; мы получим в итоге семейство II прямолинейных образующих однополостного гиперболоида, зависящее от одного параметра v = 0= 0.

Легко проверяется, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходят единственная образующая семейства I и единственная образующая семейства II.

42. Прямые на гиперболическом параболоиде

Пусть гиперболический параболоид задается своим каноническим уравнением

(согласно классификации поверхностей 2-го порядка гиперболический параболоид

и мы полагаем здесь t1 = x; t2 = y; t3 = 2z).

Для каждой пары вещественных чисел ( ; ) 6= (0; 0) рассмотрим систему уравнений

Эта система задает прямую (пересечение двух плоскостей, задаваемых двумя линейными уравнениями из системы (42:2)), и эта прямая лежит на гиперболическом параболоиде, потому что решение системы (42:2) дает решение уравнения (42:1).

В итоге мы получили семейство прямолинейных образующих гиперболического параболоида, которое мы обозначим через I. Оно зависит от одного параметра u == . Аналогично уравнениям (42:2) можно было бы для любой пары чисел ( 0; 0) 6= (0; 0) рассмотреть систему уравнений

(

0 xa yb = 2 0z0 xa + yb = 0;

определяющую прямую, лежащую на гиперболическом параболоиде; мы получим в итоге семейство II прямолинейных образующих гиперболического параболоида, зависящее от одного параметра v = 0= 0.

Легко проверяется, что через каждую точку гиперболического параболоида проходят единственная образующая семейства I и единственная образующая семейства II, причем любые две образующие, принадлежащие разным семействам, пересекаются, а принадлежащие одному семейству всегда скрещиваются.

43. Проективное пространство

Проективизацией P(E) конечномерного линейного пространства E над полем k

, 9 2 k ~x = ~y (здесь k = k n 0 – группа ненулевых элементов поля k с операцией умножения).

Таким образом, P(E) – это множество всех прямых пространства E, проходящих через точку 0.

Положим Pnk = P(kn+1). В этих обозначениях PnR называется n-мерным вещественным проективным пространством, PnC называется n-мерным комплексным проективным пространством.

Очевидно, проективная вещественная прямая P1R – это множество всех прямых в R2, проходящих через начало координат. Каждая такая прямая пересекает единичную окружность U1 с центром 0 в двух диаметрально противоположных точках; эта пара диаметрально противоположных точек задает единственную точку проективной прямой P1R. В итоге можно рассматривать P1R как окружность с отожествленными диаметрально противоположными точками. Более точно, существует каноническое непрерывное сюръективное отображение U1 ! P1R склеивания диаметрально противоположных точек единичной окружности. Отождествим R2 с C, и будем рассматривать U1 как группу комплексных чисел fz 2 C j jzj = 1g. Тогда точки z1; z2 2 U1 диаметрально противоположны , z1 = z2. Таким образом, P1R можно естественным образом отождествить с факторгруппой U1=f 1g.

Попробуем найти такой сюръективный морфизм групп f : U1 ! U1, чтобы Ker f = f 1g. Можно взять, например, f(z) = z2. Поскольку фактор по ядру изоморфен образу, то имеем:

f

если перенести центр единичной окружности в точку i и рассмотреть прямые, проходящие через точку 2i. Каждая такая прямая (кроме прямой, пераллельной вещественной оси R) пересекает вещественную ось в единственной точке и пересекает окружность в единственной точке; это устанавливает диффеоморфизм вещественной оси и окружности с выколотой точкой 2i. Прямая, параллельная вещественной оси и проходящая через точку 2i, играет роль бесконечно удаленной точки 1 на проективной прямой P1R = R[1. Заметим, что U1 – компакт (любое покрытие U1 открытыми подмножествами содержит конечное подпокрытие). Поэтому компакт P1R = R [ 1 можно рассматривать как одноточечную компактификацию аффинной прямой R.

В теории функций одной комплексной переменной важную роль играет комплексная проективная прямая P1C = C [ 1, отождествляемая (с помощью стереографической проекции) с единичной сферой.

Вещественная проективная плоскость P2R естественным образом изоморфна (как топологическое пространство) сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками.

Пусть : (R3 n 0) ! P2R = (R3 n 0)= – каноническое сюръективное отображение. Проективной прямой на P2R называется образ n 0 при отображении , где – это плоскость в R3, проходящая через начало координат. Так как любые две несовпадающие плоскости 1; 2 в R3 пересекаются по прямой l = 1 \ 2, то соответствующие проективные прямые ( 1 n 0) и ( 2 n 0) пересекаются в одной точке (l n 0) проективной плоскости.

Итак, любые две несовпадающие проективные прямые на вещественной проективной плоскости пересекаются в единственной точке.

Пусть E – конечномерное линейное пространство над полем k. Группа GL(E) обратимых линейных операторов A : E ! E естественным образом действует на

~x = ~y для некоторого 2 k , поэтому A(~x) = A( ~y) = A(~y) и, следовательно, A(~x) A(~y). Значит, можно определить действие оператора A на проективизации

P(E) формулой A(~x mod ) = A(~x) mod .

гомотетий. Группа PGL(E) называется проективной линейной группой. Поскольку элементы из GL(E) переводят любую плоскость в пространстве E в любую другую плоскость, то элементы из PGL(E) переводят любую проективную прямую в проективизации P(E) в любую другую проективную прямую.

Пусть ~e0; ~e1; : : : ;~en – базис линейного пространства E над полем k, ~x = x0~e1 + x1~e1 + + xn~en. Пусть E n 0 ! P(E) – каноническое отображение, которое вектору

векторы с координатами (x0; x1; : : : ; xn) и ( x0; x1; : : : ; xn) дают одну и ту же точку проективного пространства, которую мы обозначим через (x0 : x1 : : xn). По определению, имеем:

(x0 : x1 : : xn) = ( x0 : x1 : : xn):

Набор (x0 : x1 : : xn) называется набором однородных координат точки проективного пространства P(E).

Очевидно,

n

[

P(E) = D+(xi);

i=0

где

D+(xi) = f(x0 : x1 : : xn) j xi 6= 0g:

Рассмотрим для примера

D+(x0) !f kn:

Значит, P(E) склеено из множеств D+(x0); D+(x1); : : : ; D+(xn), каждое из которых изоморфно kn.

44. Проективная классификация кривых второго порядка

Проективная кривая 2-го порядка на проективной плоскости P2R с однородными координатами (x0 : x1 : x2) задается уравнением

a00x20 + a11x21 + a22x22 + 2a01x0x1 + 2a02x0x2 + 2a12x1x2 = 0:

Сушествует такой ортонормированный базис пространства R3, в котором квадратичная форма приводится к каноническому виду

0y02 + 1y12 + 2y22 = 0:

Предположим сначала, что квадратичная форма невырождена (т.е. det A 6= 0, что эквивалентно неравенству 8i i 6= 0). Можно считать, что замена координат

(гипербола), в то же время в D+(z2) этот овал задается уравнением

z02 + z12 1 = 0 z22 z22

(окружность).

Если квадратичная форма вырождена, то можно считать, что уравнение кривой принимает один из следующих видов:

z02 + z12 = 0 (пара мнимых проективных прямых);

z02 z12 = 0 (пара вещественных проективных прямых); z02 = 0 (пара совпадающих проективных прямых).

Мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая кривая 2-го порядка на вещественной проективной плоскости P2R проективно эквивалентна одному из следующих объектов:

мнимый овал; вещественный овал;

пара мнимых проективных прямых; пара вещественных проективных прямых; пара совпадающих проективных прямых.