Лекции танкеева

имеет вид

2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0;

т.е.

2 Tr A + det A = 0:

20. Ранг матрицы и его вычисление. Метод окаймляющих миноров

Определение. Пусть

Рангом матрицы A называется число dimR F .

Определение. Выберем k строк и k столбцов матрицы A. Пусть M=(определитель k-го порядка, элементы которого aij расположены в выбранных строках и столбцах). M называется минором k-го порядка.

Пример. Пусть

01

Миноры 1-го порядка: 1; 2; : : : ; 12. Миноры 2-го порядка:

Миноры 3-го порядка:

Комментарий. Предположим, что существует минор r-го порядка M 6= 0. Если все миноры порядка > r равны нулю, то ранг A равен r.

Набросок доказательства. Пусть M 6= 0 – минор порядка r, а все миноры порядка > r равны нулю. Мы должны доказать, что rank A = r.

Можно считать, что M расположен в северо - западном углу:

Мы должны проверить, что все строки с номерами > r выражаются через первые r строк.

Возьмем для простоты случай r = 2:

Поскольку M 6= 0, то строки минора M не пропорциональны. Поэтому строки (a11; a12; a13) и (a21; a22; a23) тоже не пропорциональны (эти векторы не лежат на одной прямой в пространстве R3). С другой стороны, объем параллелепипеда, построенного на строках матрицы A, равен нулю. Значит, этот параллелепипед плоский, и поэтому 3-я строка лежит в плоскости, натянутой на 1-ю и 2-ю строки. Поскольку 1-я и 2-я строки образуют базис плоскости, то 3-я строка является линейной комбинацией 1-й и 2-й строк. Теорема доказана.

Аналогично доказывается следующая теорема:

Теорема. Если M 6= 0 и все окаймляющие миноры равны нулю, то rank A = r.

Пример.

Окаймляющие миноры:

Так как M 6= 0, то 1-я и 2-я строки матрицы A линейно независимы, а 3-я строка является линейной комбинацией этих строк. Поэтому система уравнений эквивалентна системе

(

x1 2x2 + 3x3 = 4 x1 + x2 + x3 = 0:

Переменные, которые не попали в минор M, перенесем в правую часть:

(

x1 2x2 = 4 3x3 x1 + x2 = x3

и будем рассматривать как независимые переменные. Поскольку M 6= 0, то можно воспользоваться правилом Крамера:

4 3x3 2

1 4 3x3

4 5x3 ; 2x3 4; x3 ;

3 3

где x3 – независимая переменная. Если, например, k = R, то решения нашей системы образуют прямую.

Очевидно,

1 1 1

3 1 1 = 0;

поэтому rank A = 2. Очевидно,

1 1 1

поэтому rank A = 3 6= rank A, и система несовместна (не имеет решений) по теореме Кронекера - Капелли.

22. Прямая на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

1-й способ задания прямой на плоскости: пусть прямая L проходит через точку (x0; y0) и имеет направляющий вектор ~a = a1~e1 +a2~e2, где ~e1; ~e2 – ортонормированный базис плоскости. Тогда (x; y) = (x0; y0) + t~a, поэтому в координатной записи получаем параметрическое уравнение прямой:

(

x = x0 + ta1 y = y0 + ta2:

2-й способ задания прямой на плоскости: пусть прямая L проходит через точки (x1; y1) 6= (x2; y2), и (x; y) – произвольная точка прямой L. Имеем:

Это уравнение имеет вид Ax + By + C = 0.

3-й способ задания прямой на плоскости: фиксируем нормаль ~n к прямой L

(по определению, jj~njj = 1; ~n ? ~a). Поскольку (~n;~a) = 0, то

(~n; t~a) = 0 ) (~n; (x x0)~e1 + (y y0)~e2) = 0;

где ~n = n1~e1 + n2~e2, n21 + n22 = 1 в силу соотношения jj~njj = 1. Наше уравнение принимает вид

(n1~e1 + n2~e2; (x x0)~e1 + (y y0)~e2) = 0;

т.е. мы получаем нормальное уравнение прямой:

n1(x x0) + n2(y y0) = 0; n1x + n2y + ( n1x0 n2y0) = 0:

Сравним: прямая L задается уравнением Ax + By + C = 0 и нормальным урав-

Поскольку множество решений системы

(

Ax + By = C

n1x + n2y = n1x0 + n2y0

– прямая L, то rank A = rank A = 1 (если бы rank A = rank A = 2, то по правилу Крамера множество решений состояло бы из одной точки). Поэтому (n1; n2) = (A; B). С другой стороны,

p p

1 = jj~njj = ( A)2 + ( B)2 = j j A2 + B2;

j j = p 1 ) = p 1 )

A2 + B2 A2 + B2

~n = n1~e1 + n2~e2 = p 1 (A~e1 + B~e2): A2 + B2

Теорема. Расстояние от точки (x0; y0) на плоскости до прямой Ax + By + C = 0

равно = jAx0+By0+Cj.

p

A2+B2

Доказательство. Опустим перпендикуляр из точки (x0; y0) на прямую L. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой L через (x; y). Имеем (x; y) = (x0; y0) + t~n, где t = . Это соотношение принимает вид

(

x = x0 + tn1 y = y0 + tn2;

причем Ax + By + C = 0, т.е. A(x0 + tn1) + B(y0 + tn2) + C = 0. Можно считать, что

Пример. Пусть даны две пересекающиеся прямые A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0. Уравнения биссектрис, проведенных через точку пересечения, имеют вид

23. Угол между двумя прямыми на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть даны две прямые L1; L2. По определению,

^^

(L1; L2) = (~n1; ~n2) =

(~n1; ~n2)

arccos jj~n1jj jj~n2jj = arccos(~n1; ~n2) =

1)Если rank A 6= rank A, то прямые не пересекаются (параллельны).

2)Если rank A = rank A = 1, то прямые совпадают.

3)Если rank A = rank A = 2, то прямые пересекаются в одной точке.

24.Плоскость в трехмерном пространстве. Расстояние от точки до плоскости в трехмерном пространстве. Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в трехмерном пространстве. Взаимное расположение трех плоскостей в трехмерном пространстве

Пусть даны три точки (x1; y1; z1); (x2; y2; z2); (x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой. Тогда они задают единственную плоскость .

Очевидно, (x; y; z) 2 , (x x1; y y1; z z1) является линейной комбинацией векторов (x2 x1; y2 y1; z2 z1) и (x3 x1; y3 y1; z3 z1) ,

Плоскость : Ax + By + Cz + D = 0 имеет нормаль

Следующие теоремы доказываются аналогично теоремам о прямых на плоскости: Теорема. Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

равно

= jAx0p+ By0 + Cz0 + Dj: A2 + B2 + C2

Теорема. Рассмотрим плоскости

1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 02 : A2x + B2y + C2z + D1 = 0:

Двугранный угол между этими плоскостями равен

B1B2 + C1C2 = 0.

Теорема (взаимное расположение 2-х плоскостей в 3-мерном простран-

1)Если rank A 6= rank A, то плоскости не пересекаются (параллельны и не совпадают).

2)Если rank A = rank A = 2, то плоскости пересекаются по прямой.

3)Если rank A = rank A = 1, то плоскости совпадают.

Теорема (взаимное расположение 3-х плоскостей в 3-мерном пространстве). Рассмотрим плоскости

1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 02 : A2x + B2y + C2z + D2 = 03 : A3x + B3y + C3z + D3 = 0

и матрицы

1)Если rank A 6= rank A, то либо две плоскости параллельны, а третья их пересекает, либо две плоскости пересекаются по прямой L, а третья параллельна этой прямой, либо все три плоскости параллельны, либо две плоскости совпадают, а третья им параллельна.

2)Если rank A = rank A = 3, то плоскости пересекаются в одной точке (в этом случае говорят, что плоскости находятся в общем положении).

3)Если rank A = rank A = 2, то плоскости содержат одну общую прямую.

4)Если rank A = rank A = 1, то все три плоскости совпадают.

25.Самосопряженные операторы и симметрические матрицы. Собственные числа самосопряженного оператора

Определение. Конечномерное линейное пространство E над полем R веществен-

Теорема. Пусть ~e1; : : : ; ~en – ортонормированный базис евклидова пространства E. Оператор A : E ! E самосопряжен , его матрица Ae симметрическая, т.е.

aij = aji.

Теорема. Если оператор A : E ! E самосопряжен, то все комплексные корни характеристического уравнения являются вещественными.

Доказательство (для n = 2). Пусть Ae – матрица самосопряженного оператора A в ортонормированном базисе ~e1;~e2. По предыдущей теореме имеем: aij = aji. Характеристическое уравнение имеет вид

a11 a12

a21 a22 = 0;

|{z}

т.е.

2 (a11 + a22) + a11a22 a212 = 0:

Напомним, что

Теорема доказана.

26. Спектральная теорема

Спектральная теорема. Пусть A : E ! E – самосопряженный оператор в ев-