Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции танкеева

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

458.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

B 0

Af = B: : :

0	: : :	0	1
2	: : :	0	C	:
			C

:: : : : : : : :A 0 : : : n

Доказательство (в случае n = 2). Пусть Ae – матрица самосопряженного оператора A в ортонормированном базисе ~e1; ~e2. Тогда aij = aji,

1;2 =

22 r

12 :

+ a

a22)2 + 4a2

Если 1 = 2, то (a11 a22)2 + 4a122

= 0, поэтому a11

= a22; a12 = a21 = 0, и

матрица Ae =

a11

a11 . В частности, A(~ej) = a11~ej. В этом случае можно в качестве

ортонормированного базиса из собственных векторов взять ~1 1 ~2 2. f = ~e ; f = ~e

Предположим, что 1 6= 2. Пусть ~x – собственный вектор, отвечающий собственному числу 1, ~y – собственный вектор, отвечающий собственному числу 2. Рассмотрим

Очевидно,

jj~xjj

;

jj~yjj

jjf~1jj =

= 1;

jjf~2jj =

= 1;

(~x)

;

(~y)

2~y

(f1) =

= 1f1

(f2) = A

= 2f2

jj jj

Остается проверить, что f1

? f2.

Очевидно,

	~	~	~		~
	(A(f1); f2) = (f1; A(f2))
	jj			jj
	~	~	~		~
	( 1f1	; f2)	(f1	; 2f2)
	jj			jj
	~	~		~	~
	1(f1	; f2)	2(f1; f2);
~	~			~	~	~
поэтому ( 1 2)(f1	; f2) = 0, и, следовательно, (f1				; f2) = 0,	f1

|{z }

6=0

зана.

? ~2. Теорема дока- f

27. Ортогональные операторы и матрицы

Определение. Оператор A : E ! E в евклидовом пространстве E называется ортогональным , 8~x; ~y 2 E (A(~x); A(~y)) = (~x; ~y).

Теорема. Если A – ортогональный оператор, то он сохраняет скалярное произведение, нормы векторов и углы между ними.

Доказательство. По определению, A сохраняет скалярное произведение:

(A(~x); A(~y)) = (~x; ~y). Поэтому jjA(~x)jj = (A(~x); A(~x)) = (~x; ~x) = jj~xjj,

С.Г.ТАНКЕЕВ

(

(~x); (~y))

(~x; ~y)

( (~x);

(~y)) = arccos

= arccos

= (~x; ~y):

jjA

jj jjA

jj jj

(~y)

(~x)

Теорема. Пусть ~e1; : : : ; ~en – ортонормированный базис евклидова пространства E. Оператор A : E ! E ортогональный , его матрица A ортогональная, т.е. tA = A 1, где tA – матрица, транспонированная к A.

Доказательство. По определению матрицы A,

A(~ej) =

aij~ei:

С другой стороны,

(A(~ej); A(~ek)) = (~ej; ~ek) = (0;

если j = k;

(

Pi=1

Pl=1

Pi=1 Pl=1

aijalk(~ei;~el)

~e ;

alk~el) =

В итоге

i=1 aijaik

Pi=1 aijaik:

= (0;

если j = k;

jjt

taji = aij

i=1

ajiaik;

где

– элемент

транспонированной матрицы tA, расположенный в j-й строке

и i-м столбце. Поэтому соотношение

= (0;

tajiaik

если j = k;

: : :

эквивалентно соотношению

A =

0: :

: 0: :

:: :: :: :1: :C

. Теоре-

: : :

0 1. Значит, tA = A 1

ма доказана.

					~	~	– другой орто-
Теорема. Пусть ~e1; : : : ;~en – ортонормированный базис, f1						; : : : ; fn	– другой орто-
нормированный базис,					n
					n
				~	Xi
				fj =	qij~ei;
Q = 0:q:11: :: :: ::			1		=1
Q = 0:q:11: :: :: ::	q:	1:n:	1	– матрица перехода. Тогда tQ = Q 1, т.е. Q – ортогональная
@			A
qn1 : : : qnn
матрица.
Доказательство. Рассмотрим оператор A c матрицей Ae = Q, т.е.
					n
				Xi
				A(~ej) =	~
				A(~ej) =	qij~ei = fj:
					=1

Тогда

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ				33
(f~j; f~k) = (A(~ej); A(~ek)) =	(0;	если j = k;	= (~ej; ~ek)	)
	1;	если j = k;
		6

(A(~ej); A(~ek)) = (~ej;~ek):

Поэтому A – ортогональный оператор, а его матрица Ae = Q является ортогональной. Теорема доказана.

Теорема. Если A – ортогональный оператор, то det A = 1.

Доказательство. det A = det A, где A – ортогональная матрица: tA = A 1. С другой стороны, по свойству определителей, det tA = det A. Поэтому

1 = det A 1 det A = det tA det A = det A det A = det2A ) det A = 1:

Теорема доказана.

Определение. Ортогональный оператор A с определителем det A = 1 называется поворотом.

28. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Определение. Пусть ~e1; : : : ;~en – ортонормированный базис, ~x = x1~e1 + +xn~en. Функция

f(~x) = aijxixj;

i=1 j=1

где aij = aji, называется квадратичной формой. Симметрическая матрица

A =	0:a:11:	:: :: ::	a: 1:n: 1
	@an1	: : :	annA

называется матрицей квадратичной формы.

Пример. Если f(~x) = 3x21 4x1x2 + 5x22, то

A =	3	2
	2	5
(коэффициент ( 4) при x1x2 разносится в матрице A как a12 = 2 = a21).
				~		~
Теорема. Существует ортонормированный базис f1					; : : : ; fn, в котором квадратич-
ная форма имеет канонический вид: f(~x) =		n	P	n			= 1y12 + + nyn2.
ная форма имеет канонический вид: f(~x) =		i=1		j=1 aijxixj			= 1y12 + + nyn2.
Доказательство. Рассмотрим линейныйP					A	: E	!	E, определенный
формулой		оператор				: E		E, определенный
формулой
	j
	Xi
A(~ej) =		aij~ei:
	=1

Поскольку матрица A симметрическая, то оператор A является самосопряженным. Очевидно,

С.Г.ТАНКЕЕВ

xk~ek! =

(A(~x); ~x) = A

n xj~ej!;

xk~ek! =

n xjA(~ej); n

j=1

k=1

j=1

xj n aij~ei; n

xk~ek! =

aijxjxk

(~ei;~ek)

=1;

если i=k; =0;

если i=k;

j=1

i=1

k=1

=1 i=1 j=1

}

aijxjxi = f(~x):

=1 j=1

В силу спектральной теоремы существует ортонормированный базис f1

; : : : ; fn,

состоящий из собственных векторов оператора A:

A(fj) = jfj. В этом базисе

вектор ~x имеет новые координаты: ~x = y1f1

+ + ynfn,

f(~x) = (A(~x); ~x) = (A(y1f1

+ ynfn); y1f1

+ ynfn) =

(y1A(f1) + + ynA(fn); y1f1 +

+ ynfn) =

(y1 1f1

+ + yn nfn; y1f1

+ ynfn) = 1y1

+ + nyn:

Теорема доказана.

29. Классификация кривых второго порядка на плоскости

Задачи. Привести к каноническому виду:

1)6xy 8y2 + 12x 26y 11 = 0;

2)x2 + 4xy + 4y2 + 8x + 6y + 2 = 0;

3)x2 + 2xy + y2 + 8x + 3y + 2 = 0.

На евклидовой плоскости с ортонормированным базисом ~e1; ~e2 рассмотрим кривую 2-го порядка, заданную уравнением

f(~x) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x22 + a1x1 + a2x2 + a0 = 0;

где

A =	a12	a22
	a11	a12
				~	~	, в котором квад-
– ненулевая матрица. Существует ортонормированный базис f1					; f2	, в котором квад-
ратичная форма приводится к каноническому виду:
'(~x) = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22 = 1y12 + 2y22;
		~	~	;
~x = x1~e1 + x2~e2 = y1f1			+ y2f2	;
	2
~	Xi	qij~ei;
fj =		qij~ei;
Q =	=1	q22
Q =	q21	q22
	q11	q12

– ортогональная матрица перехода от базиса 1 2 к базису ~1 ~2.

~e ;~e f ; f

Мы имеем:

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ				35
		~	~
x1~e1 + x2~e2 = y1f1			+ y2f2 =
y1(q11~e1 + q21~e2) + y2(q12~e1 + q22~e2):
Сравнивая коэффициенты при ~ej в левой и правой частях, получим:
(x2	= q21y1	+ q22y2:
x1	= q11y1	+ q12y2

Подставляя эти выражения в уравнение кривой, получим уравнение

1y12 + 2y22 + b1y1 + b2y2 + b0 = 0:

При этом ( 1; 2) 6= (0; 0), потому что квадратичная форма не является нулевой. Можно считать, что 1 > 0.

Предположим сначала, что 2 6= 0. Тогда уравнение кривой принимает вид

1 y12 + 1 y1

+ 2 1

+ 2 y22 + 2 y2

+ 2 2

2 1

2 2 2

= 0;

1 y1 + 2 1

+ 2

+ 2 2

+ b0 1 2 1

2 2 2

= 0:

Сделаем замену координат

(y2

2 2

{zc0

}

= z2:

= z1

2 1

Тогда уравнение кривой приводится к виду

1z12 + 2z22 = c0:

1) Если 1 > 0; 2 > 0; c0 > 0, то положим a

2 . Уравнение

кривой принимает канонический вид

z12

z22

= 1

(эллипс).

2) Если 1 > 0; 2 > 0; c0 < 0, то положим a

. Уравнение кривой

принимает канонический вид

z12

z22

= 1

(мнимый эллипс).

. Уравнение кривой

3) Если 1 > 0; 2 > 0; c0 = 0, то положим a

принимает канонический вид

z12

z22

= 0

(пара мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке).

4) Если 1 > 0; 2 < 0; c0 > 0, то положим a

. Уравнение кривой

принимает канонический вид

С.Г.ТАНКЕЕВ

z12

z22

= 1

(гипербола).

Если 1 > 0; 2 < 0; c0 < 0, то снова получим гиперболу.

5) Если 1 > 0; 2 < 0; c0 = 0, то положим a

. Уравнение кривой

принимает канонический вид

z12

z22

= 0

(пара вещественных пересекающихся в одной точке прямых).

Далее мы можем считать, что 2 = 0. Тогда уравнение кривой принимает вид

1 y12 + 1 y1 + 2 1

+ b2y2 + b0 1

2 1

= 0;

1 y1

+ 2 1

+ b2y2 + b0

1 2 1

= 0:

{zc0

}

Сделаем замену координат

(

y1 + b1 = z1

2 1

y2 = z2:

Тогда уравнение кривой приводится к виду

1z12 + b2z2 = c0:

Если b2 6= 0, то мы можем сделать замену координат

(

z1 = t1

z2 + c0 = t2;

и уравнение кривой приводится к виду

1t21 + b2t2 = 0:

Предположим сначала, что b2 6= 0.

6) Если 1 > 0; b2 > 0, то положим a2 = b2 . Уравнение кривой принимает канони-

ческий вид

a12 + t2 = 0

(парабола); случай b2 < 0 сводится к предыдущему заменой t2 на t2 и не дает ничего нового.

Далее можно считать, что b2 = 0 (в этом случае уравнение кривой не содержит переменной t2). Мы получаем следующие варианты:

7) a12 = 1 (пара параллельных вещественных прямых);

8) a12 = 1 (пара параллельных мнимых прямых); 9) z12 = 0 (пара совпадающих прямых).

Мы доказали следующую теорему:

Теорема. Существуют 9 классов кривых 2-го порядка:

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1)эллипс;

2)мнимый эллипс;

3)пара мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке;

4)гипербола;

5)пара вещественных пересекающихся в одной точке прямых;

6)парабола;

7)пара параллельных вещественных прямых;

8)пара параллельных мнимых прямых;

9)пара совпадающих прямых.

30.Ориентация. Линейные операторы, сохраняющие ориентацию

Определение. Пусть ~e1; : : : ;~en – базис конечномерного векторного пространства

	~		~
E над полем R вещественных чисел, f1		; : : : ; fn – другой базис этого же пространства,
		n
	~		qij~ei;
	fj =		qij~ei;
		=1
		Xi
	q11	q12	: : : q1n
Q =	0q21 q22 : : : q2n1
	B:q: : :q: :		:: :: ::	q: : :C
	B n1	n2		nnC
	@			A

~	~
– матрица перехода от базиса ~e1; : : : ; ~en к базису f1	; : : : ; fn. Будем говорить, что эти

базисы имеют одинаковую ориентацию, если det Q > 0.

Если ~g1; : : : ;~gn – третий базис пространства E, ориентация которого совпадает с

ориентацией f~1; : : : ; f~n, то ~gj =

q0 f~i, где det Q0

> 0. Проверим, что матрица Q00

~e1; : : : ; ~en

i=1

перехода от базиса

базису ~g1; : : : ;~gn является произведением Q00 = QQ0:

действительно,

qik~ei! =

!~ei =

~gj = n

qkj0

f~k =

qkj0

qikqkj0

n q00ij~ei:

X Xk

k=1

i=1

Поэтому из соотношения

det Q00 = det(QQ0) = det Q det Q0 > 0

следует, что базисы ~e1; : : : ; ~en и ~g1; : : : ;~gn имеют одну и ту же ориентацию.

В итоге все базисы пространства E разбиваются на два класса: один класс состоит из базисов, ориентация которых совпадает с ориентацией базиса ~e1; : : : ; ~en; другой класс состоит из базисов, ориентация которых противоположна ориентации базиса

~e1; : : : ;~en.

Примеры. 1) E = R с обычными операциями сложения и умножения. Здесь строго положительные числа задают положительное направление числовой прямой (положительную ориентацию), а строго отрицательные числа задают отрицательное направление числовой прямой (отрицательную ориентацию).

2) E – плоскость с отмеченной точкой. Базисы

С.Г.ТАНКЕЕВ

~e2

~e1 = f1

= ~e1,

= ~e2

имеют противоположные ориентации, потому что f1

Q = 0

1 ; det Q = 1 < 0:

3) Правый ортонормированный базис ~e1; ~e2; ~e3 и левый ортонормированный базис

3-мерного пространства

; f2

; f3

~e3

! ~e2;

;

~e1

= ~e1,

= ~e3,

имеют противоположные ориентации, потому что f1

f2 = ~e2

, f3

Q = 0

01;

det Q = 1 < 0:

00 1

Пусть A : E ! E – обратимый (невырожденный) линейный оператор (другими словами, det A =6 0). Тогда A(~e1); : : : ; A(~en) – новый базис пространства E, причем

A(~ej) = Pn aij~ei. Поэтому базисы ~e1; : : : ; ~en и A(~e1); : : : ; A(~en) имеют одинаковую

i=1

ориентацию , det A > 0 (что эквивалентно соотношению det A > 0, поскольку определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса).

Если det A > 0, то мы будем говорить, что оператор A сохраняет ориентацию. Например, если A – поворот плоскости на угол ', то A сохраняет ориентацию,

потому что

det	A	= det	cos '	sin '	= 1 > 0:
	A		sin '	cos '

Напомним, что операторы, сохраняющие скалярное произведение, называются ортогональными. Поскольку для любого ортогонального оператора A имеем соотношение det A = 1, то сохраняющие ориентацию ортогональные операторы – это в точности повороты.

31. Линейные операторы, сохраняющие объем

Теорема. Пусть ~e1; : : : ;~en – базис конечномерного векторного пространства E над полем R вещественных чисел, A : E ! E – обратимый (невырожденный) линейный оператор (т.е. det A 6= 0). Тогда (объем параллелепипеда, построенного на векторах A(~e1); : : : ; A(~en)) = j det Aj (объем параллелепипеда, построенного на векторах ~e1; : : : ; ~en). В частности, A увеличивает объемы тел в j det Aj раз.

Доказательство. Для простоты мы рассмотрим случай dim E = 3.

Можно считать, что ~e1;~e2; ~e3 – правый ортонормированный базис E. Имеем

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

A(~ej) = aij~ei;

i=1

поэтому объем параллелепипеда, построенного на векторах A(~e1); A(~e2); A(~e3), равен

0абсолютной величине

a12

a22

a32

1 =

a11

a21

a31

a11

a12

a13

= j det Aj =

абсолютной величине

a21

a22

a23

j det Aj (объем параллелепипеда,

a31

a32

a33

построенного

на векторах ~e1; ~e2;~e3):

Теорема доказана.|

}

Следствие 1. Оператор A сохраняет объем

j det Aj = 1.

Следствие 2. Оператор A сохраняет объем и ориентацию , det A = 1. В частности, повороты сохраняют объем и ориентацию.

Линейные операторы A : E ! E, сохраняющие объем и ориентацию, образуют специальную линейную группу SL(E) (special linear group). По определению,

SL(E) = fA : E ! E j det A = 1g:

Теорема. Пусть A : E ! E – линейный оператор, сохраняющий объем и углы между векторами. Тогда A – ортогональный оператор.

Доказательство. Рассмотрим для простоты случай n = 2. Пусть ~e1;~e2 – ортонормированный базис плоскости. Так как A сохраняет углы, то

=2 = (~e1;~e2) = (A(~e1); A(~e2)):

Поэтому параллелограмм, построенный на векторах A(~e1); A(~e2), является прямо-

угольником. Пусть ~ 1 2 – диагональ квадрата, построенного на векторах 1 2. d = ~e +~e ~e ; ~e

~
Ясно, что A(d) = A(~e1) + A(~e2) – диагональ прямоугольника, построенного на век-
торах A(~e1); A(~e2). Поэтому из равенств
^	^
~	~

=4 = (d; ~e1) = (A(d); A(~e1));

следует, что прямоугольник является квадратом. Поскольку A сохраняет площади, то площадь этого квадрата равна 1. Значит, длины векторов A(~e1); A(~e2) равны 1. Поэтому оператор A переводит ортонормированный базис ~e1;~e2 в ортонормированный базис A(~e1); A(~e2) и, следовательно, A – ортогональный оператор. Теорема доказана.

32. Простейшие примеры алгебр Ли

Определение. Векторное пространство g над полем k называется алгеброй Ли, если каждой паре векторов x; y 2 g отвечает вектор [x; y] 2 g, причем выполняются следующие аксиомы:

1) 8 2 k [ x; y] = [x; y] = [x; y];

2) [x + y; z] = [x; z] + [y; z]; [x; y + z] = [x; y] + [x; z];

40	С.Г.ТАНКЕЕВ

3)8x 2 g [x; x] = 0;

4)(тождество Якоби) [[x; y]; z] + [[y; z]; x] + [[z; x]; y] = 0.

Из свойств 2) – 3) следует, что 0 = [x + y; x + y] = [x; x] + [y; x] + [x; y] + [y; y].

Поэтому [x; y] = [y; x].	\|{z}	\|{z}
	=0	=0

Примеры. 1) g – 3-мерное пространство со скалярным произведением, [x; y] – векторное произведение. Нуждается в проверке только тождество Якоби. Его достаточно проверить только для базисных векторов правого ортонормированного базиса e1; e2; e3 (легкое упражнение).

2) g = Mn(R) – кольцо квадратных матриц порядка n с коэффициентами из поля k. Пусть [x; y] = xy yx, где xy – обычное произведение матриц. В этом случае тождество Якоби действительно выполняется:

[[x; y]; z] + [[y; z]; x] + [[z; x]; y] = [xy yx; z] + [yz zy; x] + [zx xz; y] = xyz yxz zxy + zyx + yzx zyx xyz + xzy + zxy xzy yzx + yxz = 0:

3)Пусть [x; y] = 0 для всех x; y 2 g. В этом случае алгебра Ли g называется коммутативной.

4)Пусть g = sln(R) – множество всех квадратных матриц порядка n с нулевым следом. Если Tr(x) = 0 и Tr(y) = 0, то

Tr([x; y]) = Tr(xy yx) = Tr(xy) Tr(yx) = 0

(и поэтому sln(R) – алгебра Ли) в силу общей теоремы: Теорема. Для любых квадратных матриц x; y порядка n

Tr(xy) = Tr(yx):

Доказательство. Имеем:

n	n	n	n n	n
X	XXk		XX	X
Tr(xy) = (xy)ii =		xikyki =	ykixik =	(yx)kk = Tr(yx):
i=1	i=1	=1	k=1 i=1	k=1

Теорема доказана.

Теорема. Пусть x 2 Mn(R) и tx – транспонированная матрица. Тогда t(xy) = ty tx:

Доказательство. Очевидно,

	n		n	n
	n		n	Xk
		t(xy) ij	= (xy)ji	=		xjkyki =
	X		X	=1
	X		X
Теорема доказана.	k=1 txkj tyik = k=1 tyik txkj = ty tx ij :
Теорема доказана.	Квадратная матрица x 2 Mn(R) называется кососимметриче-
Определение.t	Квадратная матрица x 2 Mn(R) называется кососимметриче-
ской, если x = x.					t	x = xg всех кососимметрических
Теорема. Множество son(R) = fx 2 Mn(R) j						x = xg всех кососимметрических

матриц порядка n является алгеброй Ли.

Доказательство. Если x; y 2 son(R), то

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.201560.16 Кб57лекции по логопсихологии.docx
#
21.03.2015313.85 Кб17Лекции по теории разностных схем.pdf
#
03.08.2019177.15 Кб17Лекции по Ф.В №1..doc
#
21.03.20158.64 Mб148Лекции по Цветоводству.docx
#
21.03.2015837.12 Кб229лекции по экологии почв.doc
#
22.03.2015458.18 Кб16Лекции танкеева.pdf
#
21.03.20153.5 Mб255Лекции ЭМС.doc
#
21.03.201514.46 Mб198лекции.doc
#
21.03.2015669.7 Кб201Лекции.doc
#
07.03.20169.82 Mб358Лекции.docx
#
20.04.2019250.86 Кб7Лекции13.10.2011.docx