Лекции танкеева

t[x; y] = t(xy yx) = t(xy) t(yx) = ty tx tx ty = ( y)( x) ( x)( y) = yx xy = [x; y];

поэтому [x; y] 2 son(R). Теорема доказана.

33. Экспонента и логарифм квадратной матрицы

Пусть x 2 R. Тогда

lim 1 + x n = ex:

n!+1 n

Действительно, если x = 0, то это соотношение очевидно. Если же x 6= 0, то из второго замечательного предела получим:

В курсе математического анализа доказывается, что

ex = 1 + x + x2 + + xm + : : :

2! m!

– сумма сходящегося всюду степенного ряда.

Для любого линейного оператора A : E ! E на конечномерном евклидовом пространстве E определим его норму формулой

jjAjj = sup jjA(~e)jj:

~e2E jj~ejj 1

~e7!jj~e j

Поскольку функции A : E ! E и E ! R непрерывны, их композиция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (компакте) B = fe 2 E j jjejj 1g, и в силу теоремы Больцано – Вейерштрасса ограничена на единичном шаре B. Поэтому норма оператора A существует. Более того, она обладает следующими свойствами:

jjAjj , 8 2 jjA jj , 8 2 A ~ , A

i) = 0 ~e B (~e) = 0 ~e B (~e) = 0 = 0;

ii)jj Ajj = sup~e2B j j jjA(~e)jj = j j jjAjj;

iii)jjA + Bjj = sup~e2B jjA(~e) + B(~e)jj sup~e2B(jjA(~e)jj + jjB(~e)jj) sup~e2B jjA(~e)jj + sup~e2B jjB(~e)jj = jjAjj + jjBjj;

iv)8~e 2 E jjA(~e)jj jjAjj jj~ejj, потому что

Наличие нормы в пространстве EndR(E) линейных операторов позволяет перенести на функции со значениями в E (линейные операторы) теорию сходящихся последовательностей. По определению, последовательность операторов An сходится к оператору A , jjAn Ajj ! 0 при n ! +1.

С другой стороны, матрицы x и x коммутируют:

[x; x] = [x; x] = 0;

поэтому 1 = e0 = ex+( x) = ex e x = ex t(ex) и, следовательно, t(ex) = (ex) 1. Поэтому ex – ортогональная матрица. Теорема доказана.

Если x 2 R и jxj < 1, то

поэтому можно определить логарифм вещественного числа y = 1+x (где jxj < " < 1) формулой

Теорема (без доказательства). Если y = 1 + x, где x – квадратная матрица, близкая к нулевой матрице, то определен логарифм

Следствие. Если y = ex – ортогональная матрица, близкая к единичной матрице (так что логарифм ln y = ln(ex) = x существует), то x – кососимметрическая матрица.

Доказательство. Поскольку y = ex – ортогональная матрица, то t(ex) = (ex) 1.

ln( ty) = ln((ex) 1) = ln(e x) = x

и, следовательно, x – кососимметрическая матрица. Следствие доказано.

Мы видим, что экспонента взаимно однозначно отображает малую окрестность нулевой матрицы в алгебре Ли son(R) кососимметрических матриц на малую окрестность единичной матрицы в группе On(R) ортогональных матриц. Обратное отображение осуществляется с помощью логарифма. В частности,

dimR On(R) = dimR son(R):

Поскольку кососимметрическая матрица x 2 son(R) имеет вид

то dimR son(R) = (n 1) + (n 2) + + 1 = n(n 1)=2. Такую же размерность имеет группа ортогональных матриц On(R).

34. Определитель экспоненты. Вычисление экспоненты симметрической матрицы

Теорема. Для любого линейного оператора A : E ! E в евклидовом пространстве E имеем: det eA = eTr A.

Доказательство. Для простоты рассмотрим случай n = 2. Характеристическое

задает открытое плотное подмножество U в кольце EndR(E). Все операторы A 2 U диагонализируются (над полем C комплексных чисел). Значит, в некотором базисе ~e1;~e2 имеем: A(~e1) = 1~e1; A(~e2) = 2~e2, где 1 6= 2 2 C – собственные числа оператора A.

Очевидно,

Am(~e1) = m1 ~e1; Am(~e2) = m2 ~e2;

поэтому

В итоге мы доказали теорему для операторов A 2 U. Поскольку det eA и eTr A непрерывны (как функции от A) и совпадают на открытом плотном подмножестве U ,! EndR(E), то они совпадают всюду. Теорема доказана.

Следующая очевидная теорема позволяет сравнительно просто вычислять экспоненты симметрических матриц и самосопряженных операторов.

Теорема. Пусть A : E ! E – самосопряженный оператор в евклидовом пространстве E, Ae – (симметрическая) матрица оператора A в ортонормированном базисе ~e1; : : : ;~en. В силу спектральной теоремы существует ортонормированный базис

Доказательство. Все следует из очевидных равенств

A2f = Q 1AeQ Q 1AeQ = Q 1A2eQ; A3f = Q 1A3eQ; : : : ; Amf = Q 1Ame Q:

35. Аффинная группа

Пусть E – конечномерное линейное пространство над полем k. Положим GL(E) = fA : E ! E j det A =6 0g (general linear group). Это группа линейных автоморфизмов

B ~ 2 – фиксированный вектор. Поэтому 2 . С другой стороны,

(~a) + b E A (E)

если – обратный элемент для , то мы имеем 8~x 2 E (~x) = ~x. Поэтому

причем

A (E)= Transl(E) !f GL(E):

Доказательство. Рассмотрим каноническое отображение

f: A (E) ! GL(E);

7! A:

Проверим, что f – морфизм групп (т.е. что f( ) = f( ) f( ) = B A). Действительно, мы уже знаем, что

B A B ~

(~x) = ( (~x)) + (~a) + b:

Поэтому f( ) = B A = f( ) f( ). С другой стороны, ядро f равно

Ker(f) = f 2 A (E) j A = 1g = f 2 A (E) 8~x 2 E (~x) = ~x + ~ag = Transl(E) !f E

и является нормальной подгруппой в A (E) (согласно общей теореме из теории групп, ядра морфизмов являются нормальными подгруппами); кроме того, согласно общей теореме из теории групп фактор по ядру изоморфен образу, т.е.

A (E)= Ker(f) !f f(A (E)) = GL(E);

что и требовалось доказать.

Определение. Элементы группы A (E) называются аффинными морфизмами. Очевидно, любой аффинный морфизм : E ! E является композицией линей-

ного морфизма A : E ! E и параллельного переноса ~x 7!~x + ~a.

36. Движения (изометрии) евклидова пространства

Определение. Пусть E – евклидово пространство (конечномерное линейное пространство над полем R, снабженное скалярным произведением). Тогда E имеет структуру метрического пространства с метрикой (~x; ~y) = jj~x ~yjj. Движением (изометрией) пространства E называется любое отображение : E ! E, сохраняющее расстояние, т.е.

В этом определении движения не предполагается, что – аффинное отображение, но на самом деле – аффинное:

Теорема. Отображение : E ! E является движением , 8~x 2 E (~x) = A(~x) + ~a, где A 2 O(E) – ортогональный оператор. Если, кроме того, A 2 SO(E) (другими словами, A сохраняет ориентацию), то называется собственным движе-

Следовательно, = T~a A, где A(0) = 0, т.е. любая изометрия является произ-

ведением изометрии A, оставляющей неподвижной точку ~, и сдвига ~a. Осталось

0

T

проверить, что A – линейный ортогональный оператор. Поскольку A – изометрия, то

jjA(~x) A(~y)jj = (A(~x); A(~y)) = (~x; ~y) = jj~x ~yjj:

Полагая в этом соотношении ~, получим:

~y = 0

jjA(~x)jj = jj~xjj

(другими словами, A сохраняет длины векторов).

Проверим, что A сохраняет скалярное произведение: действительно,

jj~xjj2 2(~x; ~y) + jj~yjj2 = (~x ~y; ~x ~y) = jj~x ~yjj2 = jjA(~x) A(~y)jj2 = (A(~x) A(~y); A(~x) A(~y)) =

jjA(~x)jj2 2(A(~x); A(~y)) + jjA(~y)jj2 = jj~xjj2 2(A(~x); A(~y)) + jj~yjj2;

поэтому

(~x; ~y) = (A(~x); A(~y)):

Осталось проверить, что A – линейный оператор. Для этого рассмотрим вектор ~z = ~x + ~y. Очевидно,

0 = jj~z ~x ~yjj2 = (~z ~x ~y; ~z ~x ~y) = jj~zjj2 + jj~xjj2 + jj~yjj2 2(~z; ~x) 2(~z; ~y) + 2(~x; ~y) =

jjA(~z)jj2 + jjA(~x)jj2 + jjA(~y)jj2 2(A(~z); A(~x)) 2(A(~z); A(~y)) + 2(A(~x); A(~y)) = (A(~z) A(~x) A(~y); A(~z) A(~x) A(~y)) = jjA(~z) A(~x) A(~y)jj2:

A A A ~

Поэтому (~z) (~x) (~y) = 0 и

A(~x + ~y) = A(~z) = A(~x) + A(~y):

Аналогично доказывается, что A( ~x) = A(~x). Теорема доказана.

37. Классификация изометрий прямой, плоскости и трехмерного пространства

Изометрии постоянно встречаются в геометрии и механике твердого тела, поэтому мы рассмотрим классификацию изометрий евклидовых пространств малых размерностей.

1) Пусть E = R – аффинная прямая. Любая изометрия : R ! R имеет вид

(x) = "x + a;

где " = 1 (действительно, любой ортогональный оператор A на R сохраняет скалярное произведение и является гомотетией с коэффициентом ", поэтому из соотношения A(x)A(x) = x2 следует, что "x"x = "2x2 = x2 и "2 = 1, " = 1).

Если " = 1, то (x) = x + a, и поэтому – сдвиг (параллельный перенос прямой). Если, кроме того, a 6= 0, то не имеет неподвижных точек.

Если " = 1, то (x) = x + a. Неподвижная точка отображения находится из уравнения x0 = (x0) = x0 +a. Это точка x0 = a=2. Очевидно, 8x 2 E (x) a=2 =(x a=2), поэтому – отражение прямой относительно неподвижной точки a=2 (оно не сохраняет ориентацию):

0 (x) a=2 x

> > >

2) Пусть E – евклидова плоскость, ~e1;~e2 – ортонормированный базис E. Тогда(~x) = A(~x) + ~a, где A – поворот на угол ' (если A сохраняет ориентацию) или A – ортогональный оператор с определителем 1.

Предположим сначала, что A имеет ненулевой собственный вектор. Можно считать, что ~e1 является собственным вектором оператора A с собственным числом1 2 R. Поскольку оператор A ортогональный, то

(A(~e1); A(~e1)) = (~e1;~e1) = 1;

поэтому

( 1~e1; 1~e1) = 21(~e1; ~e1) = 1

и, следовательно, 1 = 1. С другой стороны, 0 = (~e1;~e2) = (A(~e1); A(~e2)) = ( 1~e1; A(~e2)). Поэтому A(~e2) ? ~e1, A(~e2) = 2~e2 = ~e2.

Если 1 = 2 = 1, то 8~x 2 E A(~x) = ~x и – параллельный перенос на вектор ~a. Если 1 = 2 = 1, то 8~x 2 E A(~x) = ~x и (~x) = ~x + ~a. Неподвижная точка отображения находится из уравнения ~x0 = (~x0) = ~x0 + ~a. Это точка ~x0 = ~a=2. Очевидно, 8~x 2 E (~x) ~a=2 = (~x ~a=2), поэтому – отражение плоскости относительно неподвижной точки ~a=2 (оно сохраняет ориентацию). Легко видеть, что в этом случае мы имеем поворот плоскости E вокруг неподвижной точки ~a=2 на

угол .

Наконец, можно считать, что 1 = 2 = 1. В этом случае A(~e1) = ~e1; A(~e2) =

~e2,

48 С.Г.ТАНКЕЕВ

(x1~e1 + x2~e2) = x1~e1 x2~e2 + a1~e1 + a2~e2 = (x1 + a1)~e1 + ( x2 + a2)~e2:

Очевидно, является композицией отражения относительно оси, проходящей через точку (0; a2=2) параллельно вектору ~e1, и сдвига на вектор a1~e1.

Предположим теперь, что A не имеет вещественных собственных векторов. Тогда комплексные собственные числа оператора A связаны соотношениями 2 = 1 (потому что 1 является корнем характеристического уравнения 2 Tr A +det A = 0

с вещественными коэффициентами и, следовательно, 1 также является корнем ха-

рактеристического уравнения), f1g 3 det A = 1 2 = 1 1 = j 1j2 > 0, поэтому det A = 1 и, следовательно, A сохраняет ориентацию (т.е. является поворотом на угол ' 6= 0; 6= ). В этом случае A(~e1) = cos '~e1 +sin '~e2, A(~e2) = sin '~e1 +cos '~e2, поэтому

(x1~e1 + x2~e2) = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2:

Неподвижная точка (x01; x02) определяется уравнением

(x01~e1 + x02~e2) =

x01(cos '~e1 + sin '~e2) + x02( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x01~e1 + x02~e2;

которое имеет единственное решение по правилу Крамера:

(

x01(cos ' 1) x02 sin ' + a1 = 0 x01 sin ' + x02(cos ' 1) + a2 = 0;

потому что определитель

Из соотношений

(x1~e1 + x2~e2 + (x01~e1 + x02~e2)) =

(x1 + x01)(cos '~e1 + sin '~e2) + (x2 + x02)( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2)+

x01(cos '~e1 + sin '~e2) + x02( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2) + (x01~e1 + x02~e2)

следует, что – это поворот плоскости на угол ' вокруг неподвижной точки (x01; x02). В результате доказана следующая теорема:

Теорема. Любая изометрия евклидовой плоскости, сохраняющая ориентацию, является параллельным переносом или вращением вокруг неподвижной точки. Изометрия, не сохраняющая ориентацию, является композицией отражения относительно некоторой прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой.

3) Изометрии 3-мерного евклидова пространства допускают следующее описание: Теорема. Любая изометрия 3-мерного евклидова пространства, сохраняющая ориентацию, является винтовой, т.е. является композицией параллельного переноса вдоль некоторой прямой и вращения вокруг этой же прямой (винтовая изометрия включает как чистый параллельный перенос, так и чистое вращение). Изометрия,

не сохраняющая ориентацию, является композицией отражения относительно некоторой плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный той же плоскости, либо является композицией отражения относительно некоторой плоскости P и вращения на угол ' вокруг некоторой прямой L, перпендикулярной плоскости P .

Следствие (теорема Эйлера). Любое перемещение твердого тела с одной закрепленной точкой является вращением вокруг некоторой оси, проходящей через закрепленную точку.

38. Аффинная классификация кривых второго порядка

Две фигуры F1 и F2 в пространстве E называются аффинно эквивалентными

, 9g 2 A (E) g(F1) = F2.

Теорема. Любая кривая второго порядка на плоскости аффинно эквивалентна одному из следующих объектов:

1)окружность x2 + y2 = 1;

2)мнимая окружность x2 + y2 = 1;

3)гипербола x2 y2 = 1;

4)парабола y2 = 2x;

5)пара мнимых пересекающихся в одной вещественной точке прямых x2 +y2 = 0;

6)пара вещественных прямых, пересекающихся в одной вещественной точке

x2 y2 = 0;

7)пара параллельных вещественных прямых x2 = 1;

8)пара параллельных мнимых прямых x2 = 1;

9)пара совпадающих вещественных прямых x2 = 0.

Доказательство. Из метрической классификации кривых 2-го порядка известно, что композиция ортогонального линейного оператора и параллельного переноса

приводит уравнение кривой к одному из следующих типов: 10) эллипс xa22 + yb22 = 1;

20) мнимый эллипс xa22 + yb22 = 1; 30) гипербола xa22 yb22 = 1;

40) парабола y2 = 2px;

50) пара мнимых пересекающихся в одной вещественной точке прямых xa22 + yb22 = 0;

60) пара вещественных прямых, пересекающихся в одной вещественной точке

xa22 yb22 = 0;

70) пара параллельных вещественных прямых xa22 = 1;

80) пара параллельных мнимых прямых xa22 = 1; 90) пара совпадающих вещественных прямых x2 = 0.

Замена координат x = ax0, y = by0 отвечает некоторому аффинному линейному оператору и приводит уравнение 10) 30); 50) 80) к соответствующему уравнению 1)-3), 5)-8). Наконец, аффинная замена x0 = px, y0 = y приводит уравнение 40) к виду 4).

Очевидно, эллипс аффинно неэквивалентен кривым 2) – 8), так как он является ограниченным замкнутым 1-мерным множеством (и это свойство сохраняется при аффинных морфизмах), в отличие от кривых 2)–9), множество вещественных точек которых либо пусто (2,8), либо неограничено (3,4,6,7,9), либо нульмерно (5).

Аналогично проверяется неэквивалентность всех других классов. Например, гипербола состоит из двух ветвей, и поэтому неэквивалентна параболе. Наконец, надо учесть, что параллельность прямых сохраняется при аффинных морфизмах.

50 С.Г.ТАНКЕЕВ

39. Понятие о плоскости Лобачевского

Напомним, что любое комплексное число z имеет вид z = x+iy, где x = Re(z) 2 R и y = Im(z) 2 R называются вещественной и мнимой частью z.

Определение. Пусть H = fz 2 C j Im(z) > 0g – верхняя полуплоскость. Назовем "прямыми"в H лучи, перпендикулярные вещественной оси R = fz 2 C j Im(z) = y = 0g, а также полуокружности, центры которых расположены на вещественной оси (такие полуокружности пересекаются с вещественной осью под прямым углом). Верхняя полуплоскость с такими "прямыми"называется плоскостью Лобачевского (или, более точно, моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского).

Теорема. Через любые две точки z1 6= z2 2 H проходит единственная "прямая". Доказательство. Если Re(z1) = Re(z2) = a, то точки z1; z2 лежат на одном вертикальном луче Re(z) = a и не могут лежать на полуокружности с центром на вещественной оси R = fz 2 C j Im(z) = 0g (потому что для любых точек z1 6= z2 на полуокружности выполнено соотношение Re(z1) 6= Re(z2)). Следовательно, в этом

случае существует единственная "прямая проходящая через z1 и z2.

Если Re(z1) 6= Re(z2), то точки z1; z2 не лежат на вертикальном луче. Существует единственная точка a 2 R = fz 2 C j Im(z) = 0g, для которой jz1 aj = jz2 aj, поэтому точка a является центром полуокружности, проходящей через точки z1 и z2. Теорема доказана.

Можно проверить, что все аксиомы обычной евклидовой геометрии (кроме 5-го постулата Евклида) выполнены на плоскости Лобачевского.

Напомним, что 5-й постулат Евклида утверждает существование и единственность прямой на евклидовой плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

На плоскости Лобачевского 5-й постулат Евклида не выполняется: через данную точку, не лежащую на "прямой"l, можно провести более одной "прямой параллельной (т.е. не пересекающей) l.

На самом деле таких параллельных прямых бесконечно много.

Наша конструкция показывает, что 5-й постулат не является логическим следствием других аксиом евклидовой геометрии.

Хорошо известно, что 5-й постулат Евклида имеет следующую эквивалентную формулировку: сумма внутренних углов треугольника на евклидовой плоскости равна .

Теорема (без доказательства). Сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского строго меньше (угол в точке пересечения двух "прямых"по определению равен обычному углу между касательными в точке пересечения). Более того, сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского может быть сколь угодно малой.

Определение. Фиксируем вещественное положительное число a 6= 1 и определим неевклидово расстояние между точками z1; z2 2 H формулой

Можно проверить, что неевклидовы окружности, т.е. множества точек, равноудаленных от одной точки в смысле неевклидова расстояния L, являются обычными окружностями на верхней полуплоскости, не пересекающими вещественную ось.