Лекции танкеева

Остальные формулы получаются из этой формулы для скалярного произведения. Теорема доказана.

10. Векторное произведение и его свойства

Определение. Пусть ~e1; ~e2; ~e3 – правый ортонормированный базис 3-мерного пространства E:

~e3

"

! ~e2;

.

~e1

~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3; ~y = y1~e1 + y2~e2 + y3~e3. Вектор

называется векторным произведением векторов ~x; ~y. Иногда его обозначают ~x ~y.

Теорема. 1) [~x; ~y] = [~y; ~x];

2)[~x + ~y; ~z] = [~x; ~z] + [~y; ~z];

3)[ ~x; ~y] = [~x; ~y];

4) [~x; ~y] ? ~x; [~x; ~y] ? ~y;

^

5)jj[~x; ~y]jj = jj~xjj jj~yjj sin (~x; ~y);

6)правило правого винта.

Доказательство. 1) – 3) Из свойств определителей следует, что

5) Поскольку (~x; ~y) 2 [0; ], то sin (~x; ~y) 0. Поэтому достаточно проверить, что

(x2y3 y2x3)2 + (x1y3 y1x3)2 + (x1y2 y1x2)2 =

x22y32 2x2x3y2y3 + x23y22 + x21y32 2x1x3y1y3 + x23y12 + x21y22 2x1x2y1y2 + x22y12 = x21(y22 + y32) + x22(y12 + y32) + x23(y12 + y22) 2x2x3y2y3 2x1x3y1y3 2x1x2y1y2 = x21(y12 + y22 + y32) x21y12 + x22(y12 + y22 + y32) x22y22+

x23(y12 + y22 + y32) x23y32 2x2x3y2y3 2x1x3y1y3 2x1x2y1y2 = (x21 + x22 + x23)(y12 + y22 + y32) x21y12 x22y22 x23y32

2x2x3y2y3 2x1x3y1y3 2x1x2y1y2 =

(x21 + x22 + x23)(y12 + y22 + y32) (x1y1 + x2y2 + x3y3)2 =

jj~xjj2 jj~yjj2 (~x; ~y)2;

что и требовалось доказать.

^

Заметим, что h = jj~yjj sin (~x; ~y) – это высота параллелограмма, построенного на векторах ~x; ~y с основанием ~x; поэтому формула 4 показывает, что jj [~x; ~y] jj – это площадь параллелограмма, построенного на векторах ~x; ~y.

6) Правило правого винта (без доказательства): [~x; ~y] направлено в ту сторону, в какую движется правый винт при минимальном повороте от направления вектора ~x к направлению вектора ~y.

11. Смешанное произведение. Геометрический смысл определителя 3-го порядка

Определение. Пусть ~e1; ~e2; ~e3 – правый ортонормированный базис 3-мерного пространства E. Число (~x; [~y; ~z]) называется смешанным произведением векторов

~x; ~y; ~z.

Теорема.

x1 x2 x3

(~x; [~y; ~z]) = y1 y2 y3 :

z1 z2 z3

Доказательство. Очевидно,

Теорема доказана.

Следствие (геометрический смысл определителя 3-го порядка). Абсолютная величина определителя

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

равна j(~x; [~y; ~z])j и равна объему параллелепипеда, построенного на векторах ~x; ~y; ~z. Доказательство. Мы считаем, что ~y; ~z лежат в основании параллелепипеда. По-

этому

Следствие доказано.

12. Геометрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений

4) fобъем параллелепипеда, построенного на векторах ~x; ~y; ~z g =

x1 x2 x3

fабсолютной величине определителяg y1 y2 y3 ;

Все эти результаты получены выше.

13. Определитель произведения двух квадратных матриц

Теорема. Если A; B 2 Mn(R), то

det(AB) = det A det B:

det(AB) = (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22) (a21b11 + a22b21)(a11b12 + a12b22) =

a11b11a21b12 + a11b11a22b22 + a12b21a21b12 + a12b21a22b22

a21b11a11b12 a21b11a12b22 a22b21a11b12 a22b21a12b22 =

a11b11a22b22 + a12b21a21b12 a21b11a12b22 a22b21a11b12 = a11a22(b11b22 b12b21) a12a21(b11b22 b12b21) = (a11a22 a12a21)(b11b22 b12b21) = det A det B:

Теорема доказана.

14. Обратная матрица и ее вычисление

Определение. Матрица A 2 Mn(R) называется обратимой ,

00 : : : 1

Теорема. 1) Матрица A 2 Mn(R) обратима , det A 6= 0. 2) Если det A 6= 0, то

16 С.Г.ТАНКЕЕВ

15. Линейный оператор. Примеры линейных операторов

Определение. Пусть E; F – линейные пространства над полем R. Функция A :

Очевидно, A(~x + ~y) = (~x + ~y) = ~x + ~y = A(~x) + A(~y) и A( ~x) = ( ~x) = ~x =

A(~x). Этот оператор называется гомотетией с коэффициентом .

2) E = F – плоскость с отмеченной точкой 0, A – поворот плоскости на угол ' вокруг отмеченной точки. Так как диагональ параллелограмма при повороте переходит в диагональ, то A(~x + ~y) = A(~x) + A(~y). С другой стороны, очевидно,

A( ~x) = A(~x).

Очевидно, A(~x + ~y) = (~x + ~y;~e1)~e1 = (~x; ~e1)~e1 + (~y; ~e1)~e1 = A(~x) + A(~y), A( ~x) = ( ~x; ~e1)~e1 = (~x;~e1)~e1 = A(~x). Оператор A называется проектором.

4)E = F – трехмерное пространство со скалярным произведением. Фиксируем вектор ~e 2 E и рассмотрим A(~x) = [~x;~e]. Очевидно, A(~x+~y) = [~x+~y; ~e] = [~x;~e]+[~y;~e] =

A(~x) + A(~y), A( ~x) = [ ~x; ~e] = [~x; ~e] = A(~x). Поэтому A – линейный оператор.

5)Пусть E = f~x = (xn)n2N j 9 limn!1 xng – (бесконечномерное) пространство

сходящихся числовых последовательностей, F = R, A(~x) = limn!1 xn. Очевидно,

производной, F = C(a; b) – пространство непрерывных на интервале (a; b) функций, A(f) = f0 = dxdf . Ясно, что A – линейный оператор, потому что (f + g)0 = f0 + g0 и

( f)0 = 0f + f0 = f0.

16. Сумма и произведение линейных операторов. Матрица линейного оператора. Изоморфизм кольца эндоморфизмов конечномерного линейного пространства с кольцом квадратных матриц

Определение. Пусть A; B : E ! E – линейные операторы. Определим их сумму A + B и произведение AB формулами

(A + B)(~x) = A(~x) + B(~x);

(AB)(~x) = A(B(~x)):

Очевидно,

(A + B)(~x + ~y) = A(~x + ~y) + B(~x + ~y) = A(~x) + A(~y) + B(~x) + B(~y) = (A(~x) + B(~x)) + (A(~y) + B(~y)) = (A + B)(~x) + (A + B)(~y);

(A + B)( ~x) = A( ~x) + B( ~x) = A(~x) + B(~x) =

(A(~x) + B(~x)) = (A + B)(~x); (AB)(~x + ~y) = A(B(~x + ~y)) = A(B(~x) + B(~y)) =

A(B(~x)) + A(B(~y)) = (AB)(~x) + (AB)(~y);