Matematicheskaya_logika

2. ( хС(х)→D)↔ у(С(у)→D), где С(х) и D не содержат у в качестве свободной переменной

3. (D→ хС(х))↔ у(D→С(у)), где С(х) и D не содержат у в качестве свободной переменной

4. (D→ хС(х))↔ у(D→С(у)), где С(х) и D не содержат у в качестве свободной переменной

5. ¬ хА(х)↔ х¬А(х)

6. ¬ хА(х)↔ х¬А(х).

Доказательство:

1. 1) х С(х)→D - гипотеза

2)¬ у (С(у)→D) - гипотеза

3)¬¬ у¬(С(у)→D) (2, определение существования)

4)у¬(С(у)→D) (3, ¬¬В→В, МР)

5)¬(С(х)→D) (4, А4, МР)

6)С(х)&¬D (5, ¬(А→В)→А&¬В. МР)

7)С(х) (А&В→А, МР)

8)¬D (А&В→В, 6, МР)

9)х С(х) (7, ПО)

10)D (1, 9, МР)

11)D&¬D (8, 10, А→(В→(А&В)), МР дважды)

1–11) х С(х)→D, ¬ у (С(у)→D) D&¬D по теореме дедукции:

х(С(х)→D)→(¬ у(С(у)→D)→D&¬D) /вследствие (¬А→В)→(¬В→А),

(А→В)→((В→С)→(А→С))/ ( хС(х)→D)→(¬(D&¬D)→ у(С(у)→D)) ( хС(х)→D)→ у(С(у)→D)

Пример. х(А11(х)→ у(А12(х, у)→¬ zА22(у, z))). Привести к ПНФ.

х(А11(х)→ у(А12(х, у)→ z¬А22(у, z)))х(А11(х)→ у U(А12(х, у)→¬А22(у, U)))х v(А11(х)→ U(А12(х, v)→¬А22(v, U)))х v T(А11(х)→(А12(х, v)→¬А22(v, T)))

2. Следуя Дедекинду, (1901) рассмотрим формальную арифметику (ФА) при помощи теории I порядка S, содержащей предметную константу а1, функциональный символ f11, f12, f22 и предикатный символ A12. При этом будем использовать обозначения:

а1 - 0

f11(x)-х f12(t, s)-t+s

f22(t, s)-t is A12 - t=s.

Тогда собственные аксиомы имеют вид:

(S1): (х1=х2)→(х1=х3→х2=х3) (S2): х1=х2→х1 =х2

(S3): 0≠х1

(S4): х1 =х2 →х1=х2

(S5): х1+0=х1

(S6): х1+х2 =( х1+х2 ) (S7): х1 i0=0

(S8): х1 iх2 = х1 iх2 + х1

(S9): А(0)→( х(А(х)→А(х ))→ хА(х))

Для произвольной формулы А(х) в теории S.

Из схемы аксиомы S9 следует правило индукции:

А(0), хА(х)→А(х )) хА(х)

Лемма. Для произвольных термов t, r, s следствие формулы является теоремами для теории S.

[S1] t=r → (t=s→r=s)

[S2] t=r→t =r [S3] 0≠ t

[S4] t =r → t=r [S5] t+0=t

[S6] t+r = (t+r) [S7] t i0=0

[S8] t ir =t ir+t

Доказательство: т.к., применяя ПО к аксиомам S1-S8 и А4, подставляя вместо переменных соответствующие термы, при помощи МР, получим данное утверждение. Например, рассмотрим аксиому (S1):

1. (S1) (х1, х2, х3) (S1)

2. х3 S1(х1, х2, х3) (1, ПО)

3. х3 S1(х1, х2, х3)→S1(х1, х2, s) (А4) 4. S1(х1, х2, s) (2, 3, МР)

5. х2 S1(х1, х2, s) (4, ПО) и аналогично получаем

S1(t,r,s)

Теорема. Для произвольных термов t, r, s следствие формулы является теоремами теории S.

1. t=t

2.t=r→r=t

3.t=r→(r=s→t=s)

4.r=t→(s=t→r=s)

5.t=r→(t+s=r+s)

6.t=0+t

7.t +r= (t+r)

8.t+r=r+t

9.t=r→(s+t=s+r)

10.(t+r)+s=t+(r+s)

11.t=r→(t is=r is)

12.0=0 it

13.t ir=t ir+r

14.t ir=r it

15.t=r→(s it=s ir)

Доказательство:

1.1) t+0=t→(t+0=t→t=t) ([S1])

2)t+0=t ([S5])

3)t=t (1, 2, MP2)

2.1) t=r→(t=t→r=t) ([S1])

2)t=t (1.)

3)t=r→r=t (вследствие 1, 2, тавтолгии В→((А→(В→С))→(А→С)), МР2)

1)-3) 2.

3.1) r=t→(r=s→t=s) ([S1])

2)t=r→r=t (1.)

3)t=r→(r=s→t=s) (2, 1, тавтология А→В→((В→С)→(А→С))

5. Рассмотрим формулу А(z): x=y→(x+z=y+z) I. A(0) - ?

1)x=y (гипотеза)

2)x+0=x ([S5])

3)x+0=y (2, 1, правило силлогизма (ПС))

4)y+0=y ([S5])

II. 1) х=у→(х+z=у+z) (гипотеза)

2)х=у (гипотеза)

3)х+z=у+z (1, 2, МР)

А(z)→А(z ) (ПО) z (А(z)→ А(z ))

по правилу индукции z (А(z). Тогда, применяя А4, заменяя z на s и МР, и у на r и х на t получим утверждение 5.

A(t, r, s)

6. t=0+t А(х): х=х+0

3)0+х =(0+х) ([S6])

4)х =0+х (4, 2, 3)

При помощи рассмотренной теоремы можно получить вследствие теоремы 2 о теории I порядка с равенством, что S является теорией I порядка с равенством.

Если рассмотрим интерпретацию этой теории при помощи области интерпретации, состоящей из множества неотрицательных целых чисел.

а1-0

f11(t, s)-х

f12(t, s)-t+s f22(t, s)-t is А12(t, s)- t=s

Принимая данную интерпретацию в качестве модели теории S, получаем нормальную модель, которая называется стандартной моделью теории S. Все остальные, неизоморфные этой модели – нестандартными.

В 1931 г. Гёдель доказал, в любой теории, формализующей формальную арифметику, невозможно доказать (в рамках этой теории) непротиворечивость формальной арифметики, т.е. существует утверждение о непротиворечивости формальной арифметики, которое ни доказать, ни опровергнуть нельзя. (Теорема Гёделя о неполноте).

3. Интерпретация.

Все формулы теорий I порядка K имеют смысл только в некоторой интерпретации.

Под интерпретацией понимается непустое множество D, называемое областью интерпретации, и соответствие сопоставляющее предикатному символу Ajn , n-местное отношение (какое-либо подмножество прямого произведения n множеств D ), функциональному символу fjn - n-местные операции, предметная константа ai понимается как элемент множества D, при этом предметная переменная считается пробегающей всю область D.

Например, рассмотрим интерпретацию формул (1), (2), (3) при помощи D – N, А12 - ≤ , тогда 1) Формула А12 (х1, х2) интерпретируется как бинарное отношение ( так как имеет две свободные переменные ) ≤ на множестве N (натуральные числа). 2) Формула х1 А12(х2, х1) интерпретируется как свойство

( так как имеет одну свободную переменную ) натурального числа быть наименьшим. 3) х2 х1 А12(х2, х1) интерпретируется как высказывание ( так как не имеет свободных переменных ), утверждающее существование наименьшего натурального числа.

Рассмотрим понятие выполнимости формулы на некотором наборе в данной интерпретации. Для этого под ϕ(А) будем понимать интерпретацию формулы А посредством подстановки вместо всех свободных переменных соответствующих компонент из набора ϕ и выполнения предписанных интерпретацией действий.

Рассмотрим определение выполнимости формулы индуктивно, следуя пунктам определения формулы:

1.Формула Ajn(t1,...,tn) выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда ϕ(Ajn(t1,...,tn))

– истино, то есть (ϕ(t1), ϕ(t2),...,ϕ(tn)) Bjn ., где Bjn есть отношение, интерпретирующее предикатный символ Ajn.

2.Формула ¬А выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда А не выполняется на

ϕ.

3.Формула А→В выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда А не выполняется на ϕ или В выполняется на ϕ.

4.Формула хiА выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда формула А выполняется на любом наборе ψ, который отличается от ϕ не более, чем только

своей i-ой компонентой, то есть ψ(хj)=ϕ(хj) при i≠j.

Таким образом, формула А является выполнимой на последовательности ϕ, если при подстановке в формулу А вместо всех её свободных переменных

соответствующих компонент набора ϕ и интерпретации всех символов получается истинное высказывание.

Формула называется истинной в данной интерпретации, если она выполняется на любом наборе из данной интерпретации, и - ложной, если она не выполняется на любом наборе из данной интерпретации

Формула является логически общезначимой, если она является истинной в

1)Формула А12(х1, х2) является выполнимой на любом наборе, первая компонента которого совпадает с 1. Поэтому, мы можем назвать эту формулу выполнимой для

1.

2)Формула х1 х2 А12(х1, х2) интерпретируется как высказывание, которое является истинным, так как утверждает существование наименьшего натурального числа.

Рассмотрим свойства выполнимости и истинности формул.

1.¬А - истина в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А - ложна в данной интерпретации; ¬А - ложна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А - истина в данной интерпретации.

2.Никакая формула не может быть одновременно истинной и ложной в данной интерпретации.

3.Если А и А→В - истины, то и В - истина.

4.А→В - ложна тогда и только тогда, когда А - истина, В - ложна.

5.А&В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А -

выполнена на ϕ и В – выполнена на ϕ .

А В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А – выполнена на ϕ или В – выполнена на ϕ.

А↔В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда либо А – выполнена на ϕ и В – выполнена на ϕ, либо А - не выполнено на ϕ и В - не выполнена на ϕ.

хiА выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда существует набор ψ, который отличается от ϕ не более, чем своей i-ой компонентой, на котором выполнена формула А.

6. А - истина тогда и только тогда, когда хi А истина в данной интерпретации. Навешивание кванторов со всеми свободными переменными в порядке их

убывания называется замыканием формулы.

Пример: х2 х1(А12(х1, х2)→ х3 А13(х1, х2, х3)) является замыканием формулы

А12(х1, х2)→ х3 А13(х1, х2, х3)

Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных переменных.

7.Всякий частный случай тавтологии, т.е. формула, которая получается из тавтологии посредством замены всех вхождений одних и тех же пропозициональных букв на одну и ту же формулу теории К, является логически общезначимой формулой.

8.Если наборы ψ и ϕ совпадают i1,...,in компонентами и свободные переменные формулы А находятся среди xi1, xi2, ...xin, то формула А выполняется на ϕ тогда

и только тогда, когда она выполняется на ψ.

Отношение, интерпретирующее данную формулу, называется отношением соответствующим данной формуле.

Пример:1. х3А12(х1, х3)&А22(х3, х2) в интерпретации, где в качестве D берется множество всех людей, А12(х, у) - интерпретируется при помощи отношения "быть братом", А22 - "быть отцом", соответствует отношение родства, связывающее дядю и племянника.

соответствует свойству числа быть простым..

9.Любая замкнутая формула либо истина, либо ложна в данной интерпретации.

10.Если терм t является свободным для хi в формуле А, то формула А(t), получающаяся подстановкой вместо всех свободных вхождений хi терма t,

выполнена на всяком наборе, на котором выполняется хiА, т.е.хiА→ А(t) является логически общезначимой формулой.

11. Если формула А не имеет свободных вхождений переменной хi, то формулахi (А→В)→(А→ хiВ) является логически общезначимой.

Докажем свойство 11. Предположив противное, будем иметь, что в некоторой интерпретации, на некотором наборе ϕ эта формула не выполняется. Тогда х1 (А→В)– выполнена на ϕ (1), а А→ х1В – не выполнена на ϕ (2). Поэтому из (2) имеем, что А выполнена на ϕ, а

х1В не выполнена на ϕ, то есть на некоторой последовательности ψ, которая отличается от ϕ не более чем только своей i-ой компонентой, формула В не выполнена. А так как в силу свойства 8 формула А выполнена на ψ, то формула А→В является не выполненной на ψ, что противоречит утверждению (1).

Интерпретации, в которых все формулы некоторого множества формул Γ являются истинными, называется моделью данного множества Г.

Если в некоторой интерпретации истинны все аксиомы некоторой теории, то она называется моделью данной теории.

Формула В называется логическим следствием формулы А, если в любой интерпретации В выполняется на любом наборе, где выполняется А. Тогда А→В - является логически общезначимой.

А, В - логически эквивалентны, если В является логическим следствием А и

наоборот. Тогда А↔В - логически общезначимая.

Покажем, что формула х1 х2 А12( х1, х2)→ х2 х1 А12(х1, х2) не является логически общезначимой.

Рассмотрим интерпретацию с областью D=N и А12(х, у) - бинарное отношение <. Тогда посылка будет истиной, а заключение - ложной. Таким образом, формула не является логически общезначимой.

1. Являются ли следующие выражения формулами или термами теории I порядка:

1) x1, A12 (x1, x2 ) →a1;

2) x2 x1, A12 ( f11(x1), f22 (x1, x2 )) → A11(A12 (x1, x2 )); 3) a1, A12 ( f11(x1),a1) → A11(x1);

4) x2, A11( f11(x1)) → f11(x1);

5)(( x1(A12 ( f11(x1), f12 (x1, x2 )) & A21(x1)))→(A22 (x1, x2 ))A11(x1)));

6)(( x1, A12 (x1, f12 (x1, x2 )))→( x2 (A12 (x1, x2 ) & A11( f12 (x1, x3)))));

7)(( x1(A12 (x1, x2 ) →x2 A12 (x1, x3))) ↔(A22 (x1, x2 ) → →x2 A11(x2 ))).

2. Является ли терм

f12 (x1, f11(x2 ))

свободным для переменных в этой формуле?

3. Свободен ли терм

f12 (x1, f11(x2 ))

для переменных в формулах 5), 6), 7) задания №1.

4. Проинтерпретируйте следующие формулы:

1)A12 ( f12 (x1, x2 ),a1);

2)A12 (x1, x2 ) →A12 (x2, x1);

3) x1 x2 x3((A12 (x1, x2 ) →A12 (x2, x3) →A12 (x1, x3))

при помощи интерпретаций:

a)D =N, A12 (x, y) =x ≥ y, f12 (x, y) =x • y a1 =1;

б) D- множество всех людей

A12 (x, y): ХлюбитУ

f12 (x, y): y a1 =некто;

в) D= множество всех множеств целых чисел

A12 (x, y): x y, f12 (x, y): x y;a1 −пустое.

5. Выразите на языке теории I порядка следующие утверждения:

1)Все рыбы, кроме акул, добры к детям.

2)Либо всякий весомый человек весьма общителен, либо некий скептик замкнут.

3)Не все птицы могут летать.

4)Либо каждый любит кого-нибудь, и ни один не любит всех, либо некто любит всех, и кто-то не любит никого.

5)Если кто-нибудь может сделать это, то и Джон может.

6)Всякий, в ком есть упорство, может изучить логику.

7)Некоторые ходят в кино только тогда, когда там показывают кинокомедии.

8)Если всякий разумный философ – циник и только женщины являются разумными философами, то тогда, если существует разумные философы, то некоторые женщины – циники.