Matematicheskaya_logika

Предложение 5. Всякая теорема теории L является тавтологией ( 1 теорема о полноте).

Доказательство: так как схемы А1, А2 и А3 представляют тавтологии и МР в силу предложения 1 сохраняет свойство формул быть тавтологией, , то теорема, которая получается из аксиом при помощи МР является тавтологией.

Для доказательства второй части рассмотрим:

Лемма Если формула А содержит пропозициональные буквы В1, В2,…, Вк и

для каждого распределения истинностных значений Вi\ есть Вi, если Вi принимает

Тогда для каждого распределения имеем выводимости

1)В1, В2 ¬В1 → В2 →В1

2)¬В1, В2 ¬ ( ¬В1 →В2 →В1)

3)В1, ¬ В2 ¬В1 → В2 →В1

4)¬В1, ¬ В2 ¬В1 →В2 →В1

Доказательство: докажем утверждение индукцией по количеству связок n в формуле А.

1. n=0. Тогда в зависимости от значения В утверждение выражается в виде :

2. Пусть утверждение справедливо для формул, содержащих меньше n связок, и докажем для формулы А Имеем 2 случая: А имеет вид

1)¬В либо 2) В→С.

I. А имеет вид ¬В.

Так как В имеет меньше связок, чем А, то для В справедливо утверждение, то есть В1|, …, Вk| В| . Если при некотором распределении В – истина, то В| есть

случае, так как А| есть ¬В, то В1|, …, Вk| А|.

2) А имеет вид В→ С Имеем индуктивное предположение для В и С, имеющих меньше связок чем А: В1|, …, Вk| В|, В1|, …, Вk| C|.

В силу аксиомы индукции утверждение леммы справедливо для произвольной формулы А.

Предложение 6. Всякая тавтология является теоремой ИВ.( Вторая часть теоремы о полноте ).

Доказательство: Пусть формула А содержит пропозициональные буквы В1,…, Вк.

правила МР, применённого дважды получаем В1|, …, Вл-1| А . Аналогично через к шагов получим А .

7. Полнота и непротиворечивость теории L

Предложение 5. Всякая теорема теории L является тавтологией ( 1 теорема о полноте).

Доказательство: так как схемы А1, А2 и А3 представляют тавтологии и МР в силу предложения 1 сохраняет свойство формул быть тавтологией, , то теорема, которая получается из аксиом при помощи МР является тавтологией.

Для доказательства второй части рассмотрим:

Лемма Если формула А содержит пропозициональные буквы В1, В2,…, Вк и

для каждого распределения истинностных значений Вi\ есть Вi, если Вi принимает

Тогда для каждого распределения имеем выводимости

1)В1, В2 ¬В1 → В2 →В1

2)¬В1, В2 ¬ ( ¬В1 →В2 →В1)

3)В1, ¬ В2 ¬В1 → В2 →В1

4)¬В1, ¬ В2 ¬В1 →В2 →В1

Доказательство: докажем утверждение индукцией по количеству связок n в формуле А.

1. n=0. Тогда в зависимости от значения В утверждение выражается в виде :

2. Пусть утверждение справедливо для формул, содержащих меньше n связок, и докажем для формулы А Имеем 2 случая: А имеет вид

1)¬В либо 2) В→С. II. А имеет вид ¬В.

Так как В имеет меньше связок, чем А, то для В справедливо утверждение, то есть В1|, …, Вk| В| . Если при некотором распределении В – истина, то В| есть

2) А имеет вид В→ С Имеем индуктивное предположение для В и С, имеющих меньше связок чем А: В1|, …, Вk| В|, В1|, …, Вk| C|.

В силу аксиомы индукции утверждение леммы справедливо для произвольной формулы А.

Предложение 6. Всякая тавтология является теоремой ИВ.( Вторая часть теоремы о полноте ).

Доказательство: Пусть формула А содержит пропозициональные буквы В1,…, Вк.

правила МР, применённого дважды получаем В1|, …, Вл-1| А . Аналогично через к шагов получим А .

Теория L является непротиворечивой теорией, т.е. ни для какой формулы А не может быть А и ¬А одновременно теоремами, т.к. из противного предположения

в силу леммы с) будем иметь ( А→(А→В)) и по правилу МР получим В, что невозможно в силу теоремы о полноте, т.к. тогда В является тавтологией, однако, не все формулы в теории L являются тавтологииями.

Непротиворечивость можно доказать из того, что не всякая формула является теоремой, если в этой теории выводима формула из леммы с) и имеется правило МР.

Теория, в которой не всякая формула является теоремой, называется

абсолютно непротиворечивой.

Независимость множеств аксиом.

Множество аксиом Х называется независимым от других множеств аксиом, если никакая аксиома из Х не может быть выведена из остальных аксиом при помощи правил вывода.

Пример. А3: ( ¬В→ ¬А)(( ¬В →А) →В) – независимая от множеств А1 и А2, т.к. предполагая противное и рассматривая преобразование h формул, которое

заключается в исключении у них отрицания, будем иметь, что h примененное к (А1 )и (А2 )не меняют их, следовательно они остаются тавтологиями. В правиле МР преобразование h ничего не изменяет, следовательно правило МР сохраняет свойство быть тавтологией, но в случае выводимости А3, тогда бы и h от аксиомы из А3 оставались тавтологией.

Однако, h( ¬В→ ¬А) →(( ¬В→А) →В) имеет вид (C→D →((C→D) →D), что не является тавтологией.

Таким образом, А3 независимо от А1 и А2.

Аналогично можно показать независимость аксиом А1, А2 от остальных при помощи , например, многозначных логик.

Независимость систем аксиом.

1. Доказать, что множество

A3

не зависимо от множеств аксиом

A1, A2.

2. Доказать независимость множества

А1

от множеств

А2, А3.

Для этого рассмотрим трехзначную логику со значениями 0,1,2 и связями

которые определяются следующим образом:

¬,→,

1) Показать, что

А2, А3

Дают выделенные формулы, т. е. принимающие при любом распределении значение 0.

2)Показать, что МР сохраняет свойство формулы быть выделенной.

3)Привести пример аксиом из

А1,

которая является невыделенной.

3. Докажите независимость множества

А2

от множеств

А1, А3

при помощи логики:

А А

1) Показать, что в данной логике всякая аксиома из

А1

является гротескной.

2)Показать, что всякая аксиома из А3 является гротескной.

3)МР сохраняет свойство быть гротескной.

4)Привести пример аксиомы из

А2,

Которая не является гротескной.

4. Придумать многозначную логику, доказывающую независимость

А3

от множеств

А1, А2.

Теории первого порядка

1. Теория I порядка К, имеющая предикатный символ А12: "=", является теорией I

порядка с равенством, если имеет аксиомы:

А6: х1(х1=х1) - рефлексивность равенства А7: х=у→(А(х, х)→А(х, у) - подстановочность равенства

где А(х, х) - произвольная формула, имеющая свободные вхождения переменной х; А(х, у) - получившаяся из нее, посредством замены некоторых свободных

вхождений переменной х на у, причем у должен быть свободным термом для вхождения переменной х, которое он заменяет.

Теорема 1. В теории I порядка с равенством К

a) t=t, для произвольного терма t

b) x=y→y=x

c) x=y→(y=z→x=z)

Доказательство:

a)1. х1(х1=х1)(А6 )

2.х1(х1=х1)→(t=t) ( А4 )

3.t=t (1, 2, МР)

Теорема 2. Если в теории I порядка К имеет место (А6): х1(х1=х1) и (А7) : х=у→(А(х, х)→А(х, у)) только для элементарной формулы А, то теория I порядка К является теорией I порядка с равенством.

Доказательство: необходимо доказать, что из(А7) следует (А7). Докажем это индукцией по количеству n кванторов и связок в формуле А.

Если n=0, то выполняется из условия теоремы.

Предположим, что (А7) выполняется для произвольной формулы, имеющей связок и кванторов меньше, чем формула А.

Докажем для А. Рассмотрим три случая. 1. А(х, х)-¬В(х, х).

По индуктивному предположению утверждение справедливо для формулы В,

поэтому у=х→(В(х, у)→В(х, х)). Вследствие того, что теорема 1 доказана только при помощи элементарных формул, то в условиях теоремы 2 теорема 1

справедлива. Поэтому в следствие b) х=у→у=х, по тавтологии (А→В)→((В→С)→(А→С)) и теоремы 1 о частном случае тавтологии А - х=у,

В - у=х, С - (В(х, у)→В(х, х)) получаем х=у→(В(х, у)→В(х, х)). Поэтому по тавтологии (А→В)→(¬В→¬А) и по выше использованной тавтологии а также

правила МР имеем х=у→(¬В(х, х)→¬В(х, у)), т.е. х=у→(А(х, х)→А(х, у)) 2. А(х, х)-В(х, х)→С(х, х)

По индуктивному предположению утверждение справедливо для В и С. Тогда применим индуктивное предположение для В и С.

х=у→(В(х, у)→В(х, х)) - используется теорема 1 b)

х=у→(С(х, х)→С(х, у))

Используя тавтологию (А→(В→С))→((А→(Д→Е))→(А→((С→Д)→(В→Е))))

х=у В(х,у) В(х,х) х=у С(х,х) С(х,у) х=у В(х,х) С(х,х) В(х,у) С(х,у)

и правило МР дважды получаем х=у→((В(х, х)→С(х, х))→(В(х, у)→С(х, у))), т.е.

х=у→(А(х, х)→А(х, у)). 3) А(х,х)- zВ(х, х, z)

По индуктивному предположению утверждение справедливо для В, т.е.

х=у→(В(х, х, z)→В(х, у, z))

Так как (В(х, x, z) → В(х, у, z)) → z(В(х, х, z)→В(х, у, z)) ,то

х=у→( z(В(х, х, z)→ В(х, у, z)) →( zВ(х, х, z)→ zВ(х, у, z))). Т.к. 1. z(В(х, х, z)→В(х, у, z) - гипотеза

2.zВ(х, х, z) - гипотеза

3.z(В(х, х, z)→В(х, у, z)→(В(х, у, z)→В(х, у, z) (А4)

4.В(х, х, z)→В(х, у, z) (1, 3, МР)

5.zВ(х, х, z)→В(х, х, z) (А4)

6.В(х, х, z) (2, 5, МР)

7.В(х, у, z) (4, 6, МР)

8.zВ(х, у, z) (ПО, 7)

1-8 z(В(х, х, z)→В(х, у, z)), zВ(х, х, z) zВ(х, у, z)

Проверим ПО. z - не является свободной переменной, значит по теореме дедукции (2 раза) получим:

z(В(х, х, z)→В(х, у, z))→( zВ(х, х, z)→ zВ(х, у, z))/

Тогда применив тавтологию транзитивности, получим

х=у→( zВ(х, х, z)→ zВ(х, у, z))

Вследствие метода математической индукции утверждение справедливо для любой формулы

Модель теории I порядка с равенством называется нормальной, если отношение, интерпретирующее предикатный символ "=" в данной интерпретации, превращается в тождество.

Всякая теория I порядка с равенством, имеющая модель, имеет нормальную модель.

Покажем это:

Пусть теория К имеет модель с областью интерпретации D и отношением Е. Это отношение в следствие теоремы 1 является отношением эквивалентности. Поэтому разбивает D на классы эквивалентности, образуя множество D . Рассмотрим интерпретацию теории К при помощи D , при этом элементы из D обозначим: [b1]=b1/E - класс эквивалентности.

Тогда Аjn, которая в интерпретации с областью D интерпретируется при помощи отношения Bjn в области D проинтерпретируем при помощи некоторого отношении Bjn такого, что Bjn ([b1, ...,bn]) ( b1, ...,bn) Bjn. Причем это определение корректно, т.к. независимо от представителей выбора классов в

х1=у1&х2=у2&…&хn=уn, то применяя (А7) fjn(х1, х2, …, xn)= fjn(х1, х2, …, xn)→ →fjn(х1, х2, …, xn)= fjn(у1, у2,…, yn)

Т.к. В→((А→(В→С))→(А→С)), то

х1=у1, х2=у2, …, xn=yn→ fjn(х1, х2, …, xn)=fjn(у1, у2,…, yn)

Кроме того для предметной константы а из области D соответствует [а], тогда вследствие определения интерпретации с областью D получим, что формула А выполняется на соответствующем наборе ϕ из D тогда и только тогда, когда А выполняется на соответствующем наборе ϕ , составленном из классов

эквивалентности D .

А, ϕ D А, ϕ D .

Кроме того, если Е это отношение, интерпретирующее предикатный символ ”=” в области D , то из того, что

([b1], [b2]) Е следует (b1, b2) Е, то есть [b1]=[b2].

Теорема. Всякая непротиворечивая теория I порядка с равенством имеет конечную или счетную модель (продолжение леммы Гёделя о счетной модели).

Доказательство: всякая непротиворечивая теория I порядка К по лемме Гёделя имеет счетную модель. Но вследствие вышесказанного, она имеет и нормальную модель, которая является сужением ее, следовательно является конечной или счетной.

Предваренные нормальные формы.

Предваренные нормальные формы представляют собой формулы вида:

Q1x1Q2x2…QnxnA, где

Q – кванторы,

А – формула, не содержащая кванторов.

Всякую формулу теории I порядка можно представить в ПНФ при помощи:

Теорема: для произвольных формул С и D имеем.1. ( хС(х)→D)↔ у(С(у)→D),

гдеС(х) и D не содержат у в качестве свободной переменной