Индивидуальные задания
адание.
1) Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.
2) Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.
Образец выполнения задания
Образец выполнения задания
1)
;2)
;
1) Перепишем данную систему в виде:
Отделение корней производим графически.
Из графика видим, что система имеет одно решение, заключенное в области D: 0<x<0.3; -2.2<y<-1.8.
Убедимся в том, что метод итераций применим для уточнения решения системы, для чего запишем ее в следующем виде:
;
Так
как
,
,
,
,
то в области В имеем:
+
=|cos(x-0.6)|≤cos0.3=0.2955<1;
+
=|-1/3siny|≤|1/3sin(-1.8)|<1.
Таким образом, условия сходимости выполняются.
Вычисления производим по формулам:
За начальные приближения принимаем x0=0.15, y0=-2.
|
n |
xn |
yn |
xn-0.6 |
sin(xn-0.6) |
cosyn |
1/3cosyn |
|
0 |
0,1500 |
-2,0000 |
-0,4500 |
-0,4350 |
-0,4161 |
-0,1387 |
|
1 |
0,1613 |
-2,0350 |
-0,4387 |
-0,4248 |
-0,4477 |
-0,1492 |
|
2 |
0,1508 |
-2,0248 |
-0,4492 |
-0,4343 |
-0,4385 |
-0,1462 |
|
3 |
0,1538 |
-2,0343 |
-0,4462 |
-0,4315 |
-0,4471 |
-0,1490 |
|
4 |
0,1510 |
-2,0315 |
-0,4490 |
-0,4341 |
-0,4446 |
-0,1482 |
|
5 |
0,1518 |
-2,0341 |
-0,4482 |
-0,4333 |
-0,4469 |
-0,1490 |
|
6 |
0,1510 |
-2,0333 |
-0,4490 |
-0,4340 |
-0,4462 |
-0,1487 |
|
7 |
0,1513 |
-2,0340 |
-0,4487 |
-0,4338 |
-0,4468 |
-0,1489 |
|
8 |
0,1511 |
-2,0338 |
-0,4489 |
-0,4340 |
-0,4467 |
-0,1489 |
|
9 |
0,1511 |
-2,0340 |
-0,4489 |
-0,4340 |
-0,4468 |
-0,1489 |
|
10 |
0,1511 |
-2,0340 |
-0,4489 |
-0,4340 |
-0,4468 |
-0,1489 |
Ответ: x≈0.151; y≈-2.034.
2) Отделение корней производим графически.
Для
построения графиков функций составим
таблицу значений функции
и
,
входящих в первое и второе уравнения.
При построении графика достаточно
ограничиться интервалом изменения
-7/6х0,5,
так как sin(2x-y)=1.2x+0.4[-1;+1].
|
x |
-1,10 |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
|
y1 |
-1,03 |
-1,07 |
-1,05 |
-1,01 |
-0,94 |
-0,87 |
-0,80 |
-0,72 |
-0,64 |
|
y2+ |
0,15 |
0,37 |
0,48 |
0,57 |
0,64 |
0,69 |
0,73 |
0,76 |
0,79 |
|
y2- |
-0,15 |
-0,37 |
-0,48 |
-0,57 |
-0,64 |
-0,69 |
-0,73 |
-0,76 |
-0,79 |
|
x |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
|
y1 |
-0,56 |
-0,48 |
-0,41 |
-0,35 |
-0,29 |
-0,26 |
-0,28 |
-0,57 |
|
y2+ |
0,80 |
0,81 |
0,82 |
0,81 |
0,80 |
0,79 |
0,76 |
0,73 |
|
y2- |
-0,80 |
-0,81 |
-0,82 |
-0,81 |
-0,80 |
-0,79 |
-0,76 |
-0,73 |
Система имеет решение, принадлежащее области D:-0,5<x<-0.4; -0.8<y<-0.7. За начальное приближение примем x0=-0.45; y0=-0.75. Перепишем систему в виде
Уточнение корней проводим методом Ньютона:
где
,
-
решения системы
.
методом Крамера.
Для i=0 имеем
x0=-0.45,
y0=-0.75.
Все вычисления производим в следующей таблице:
|
i |
x |
y |
F’x |
G’x |
F’y |
G’y |
|
0 |
-0,45000 |
-0,75000 |
0,77754 |
-0,72000 |
-1,97754 |
-2,25000 |
|
1 |
-0,43972 |
-0,75073 |
0,78345 |
-0,70356 |
-1,98345 |
-2,25220 |
|
2 |
-0,43918 |
-0,75087 |
0,78377 |
-0,70268 |
-1,98377 |
-2,25260 |
|
3 |
-0,43908 |
-0,75089 |
0,78382 |
-0,70253 |
-1,98382 |
-2,25268 |
|
4 |
-0,43906 |
-0,75090 |
0,78384 |
-0,70250 |
-1,98384 |
-2,25270 |
|
5 |
-0,43906 |
-0,75090 |
0,78384 |
-0,70249 |
-1,98384 |
-2,25271 |
|
6 |
-0,43906 |
-0,75090 |
0,78384 |
-0,70249 |
-1,98384 |
-2,25271 |
|
7 |
-0,43906 |
-0,75090 |
0,78384 |
-0,70249 |
-1,98384 |
-2,25271 |
|
8 |
-0,43906 |
-0,75090 |
0,78384 |
-0,70249 |
-1,98384 |
-2,25271 |
|
i |
-F |
-G |
Δi |
Δh |
Δk |
|
0 |
0,00944 |
-0,00575 |
-3,17330 |
-0,03261 |
0,00232 |
|
1 |
0,00069 |
-0,00009 |
-3,15997 |
-0,00173 |
0,00042 |
|
2 |
0,00013 |
0,00000 |
-3,15948 |
-0,00030 |
0,00009 |
|
3 |
0,00003 |
0,00000 |
-3,15941 |
-0,00007 |
0,00002 |
|
4 |
0,00001 |
0,00000 |
-3,15940 |
-0,00001 |
0,00000 |
|
5 |
0,00000 |
0,00000 |
-3,15939 |
0,00000 |
0,00000 |
|
6 |
0,00000 |
0,00000 |
-3,15939 |
0,00000 |
0,00000 |
|
7 |
0,00000 |
0,00000 |
-3,15939 |
0,00000 |
0,00000 |
|
8 |
0,00000 |
0,00000 |
-3,15939 |
0,00000 |
0,00000 |
Ответ: x≈-0,43906; y-0,75090.
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2х2-ху-5х+5=0, х+уsinx—5y+7,3=0
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
