Методические указания по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

№	Тема	Литература
1	Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод подстановки, интегрирование по частям	[1], гл.VII, §29, 30; [2], гл.7, §1-4; [3], ч.1, гл.IX, №1337-1349, 1368-1379, 1392-1396; [4], гл.6, № 2-12, 36-50, 102, 108, 114, 118
2	Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых тригонометрических функций	[1], гл.VII, §31, 32; [2], гл.7, §5, 6.3; [3], ч.1, гл.IX, №1410-1414, 1429-1434, 1489-1490, 1493-1499; [4], гл.6, № 174, 177-180, 193, 195-201, 230-240
3	Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода	[1], гл.VIII, §35-40; [2], гл.8, §1, 4-9, 11; [3], ч.1, гл.X, №1552-1557, 1572-1578; [4], гл.6, № 262-273, 255-260, 366-369
4	Приложение определенного интеграла: вычисление площадей	[1], гл. VIII, §41, 41.1, 41.2; [2], гл.8, §10.1, 10.2; [3], ч.1, гл.X, №1596-1600; [4], гл.6, № 290-294,301, 302
5	Приложение определенного интеграла: вычисление объемов тел вращения	[1], гл. VIII, §41.4; [2], гл.8, §10.4; [3], ч.1, гл.X, №1628-1631; [4], гл.6, № 319-323
66	Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги плоской кривой	[1], гл. VIII, §41.3; [2], гл.8, §10.3; [3], ч.1, гл.X, №1613-1615; [4], гл.6, № 307-310, 312

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к контрольной работе по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где.

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Таблица интегралов

1.; 2.; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. .

2. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подинтегральной функции

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

=+3=.

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:

. (3)

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

==.

Ответ: .