![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра высшей математики
- •Оглавление
- •Введение
- •Методические указания по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Справочный материал к контрольной работе по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •2. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подинтегральной функции
- •3. Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование рациональных дробей
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница
- •7. Несобственные интегралы первого и второго рода
- •10. Вычисление объема тела вращения
- •11. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Варианты контрольной работы №5 по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Рекомендуемая литература
10. Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y
= 0 и непрерывной кривой y
= f(x),
где
для
,
вращается вокруг осиОX.
Объем полученного при этом тела вращения
(рис. 4) вычисляется по формуле:
.
(14)
Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x= b,
y1
= f1(x)
и y2
= f2(x)
где
для
,
то объем полученного при ее вращении
вокругОX
тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:
.
(15)
11. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть
плоская кривая АВ
задана уравнением y
= f(x),
где
.
Если функцияf′(x)
и ее производная f·′(x)
непрерывны на промежутке [a;
b],
то длина кривой АВ
вычисляется по формуле:
.
(16)
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
Задача 1. Найти неопределенные интегралы:
,
,
,
.
В
примерах
правильность полученных результатов
проверить дифференцированием.
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
а),
б)
.
Задача 3.
а)
Вычислить
с помощью определенного интеграла
площадь фигуры, ограниченной в ДСК
линиями l1:
и l2:
.
Сделать чертеж.
б)
Вычислить
с помощью определенного интеграла
площадь фигуры, ограниченной в ПСК
линией l:
.
Сделать чертеж.
Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями
l1:
и l2:
y
= 6x.
Сделать чертеж.
Задача
5. Вычислить
с помощью определенного интеграла длину
дуги кривой, заданной в ДСК уравнением
,
где
.
Сделать чертеж.
Решение задачи 1.
а)
Так как
,
то используя формулу (3), получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
следовательно, выполнено условие (1).
Ответ:
.
б)
Интеграл
относится к типу интегралов, берущихся
по частям; это интеграл так называемого
второго типа. Используя формулу (4),
получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
.
Ответ:
.
в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
,
отсюда
,
или
.
Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:
Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):
Из
первого уравнения получим:
.
Почленно вычитая два последних равенства,
получим:
,
и из последнего уравнения
.
Таким
образом,
Переходим к интегрированию:
.
Здесь
использовано: ,
.
Проверим
результат дифференцированием:
.
Ответ:
.
г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
.
Возвращаясь к переменной х, получаем:
.
Ответ:
.
Решение задачи 2.
а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому
,
следовательно,
интеграл сходится и равен
.
Здесь
использовано:.
Ответ:
.
б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, поэтому
,
следовательно,
интеграл сходится и равен .
Ответ:
.
Решение задачи 3.
а)
Найдем точки пересечения кривых, для
чего составим и решим систему
.
Приравнивая правые части, получаем
уравнение
,
решив которое, найдем абсциссы точек
пересечения: x
= –1,
x
= 3.
Построим
чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что
на промежутке [–1;
3].
Таким образом, используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
Ответ:
единиц площади.
б)
Для построения кривой
в ПСК составим таблицу значений функции
на промежутке
.
|
0 |
π/4 |
2π/4 |
3π/4 |
π |
5π/4 |
6π/4 |
7π/4 |
2π |
|
13 |
12,7 |
12 |
11,3 |
11 |
11,3 |
12 |
12,7 |
13 |
Построим
чертеж в ПСК (рис. 7).
Так как фигура ограничена кривой,
заданной в полярной системе координат, то
площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):
.
Для
получаем:
.
Ответ:
единицы площади.
Решение задачи 4.
Для
построения фигуры Ф,
ограниченной кривыми l1
и l2
нужно найти точки их пересечения, т.е.
решить систему:
.
Приравнивая правые части равенств,
получаем уравнение
,
решив которое, найдем абсциссы точек
пересечения кривых:
.
Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8) можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):
.
Ответ:
единиц объема.
Решение задачи 5.
Кривая
задана уравнением
где
,
поэтому ее длина вычисляется по формуле
(16):
.
Для
получаем:
,
тогда длина дуги кривой
.
Ответ:
единиц длины.