2.6.2.Математична модель протипухлинного імунітету

Дана модель описується системою двох диференційних рів­­нянь:

dX/dt=AX – BXY,

dY/dt=C(X – DX ²)Y – EY +S,

де X(t) – концентрація пухлинних клітин;

Y(t) – концентрація лімфоцитів-кілерів, руйнуючих пухлинні кліти­ни.

У цих рівняннях враховуються такі механізми:

1. Розмноження лімфоцитів-кілерів (С(X – DX ²)Y).

2. Природна загибель лімфоцитів-кілерів (–EY).

3. Постійний приток попередників лімфоцитів зі стовбурових клітин та лімфоцитів (A, B, C, D, E, S), а також кількості пухлинних клітин та лімфоцитів на початку захворювання (початкові умови:X(0), Y(0)).

Дана математична модель дозволяє описати різну дина­мі­ку імунного процесу та захворювання:

А) необмежене зростання пухлини при “слабкій”імунній системі;

В) остаточне розсмоктування пухлини без терапевтич­но­­го втру­чан­ня;

С) хронічна форма пухлинного захворювання.

У завданні по даній моделі (розділ 3 програми) необ­хід­но:

1. Дослідити залежність протікання пухлинного захворю­вання від параметрів імунної системи Вашого пацієнта:

- від параметра S– швидкості притоку передвісників лімфо­ци­тів-кілерів, який повинен змінюватись в межах від 0.2 до 8 умовних одиниць;

- від параметра Y– концентрації лімфоцитів-кілерів на початку захворювання, який може змінюватись в межах від 0.4 до 5 умовних одиниць.

Для виконання даного завдання необхідно:

1. Обрати мінімальне значення параметра Y(можливість імун­ної системи).

2. Змінювати значення параметра Sвід мінімального до максимального так, щоб в процесі моделювання можна було визначити його інтервали, при яких:

а) Ваш пацієнт гине (спостерігається безперервний ріст клі­тин пухлини);

б) Ваш пацієнт одужує (спостерігається розсмоктування клі­тин пухлини);

в) у пацієнта спостерігається хронічна форма протікан­ня захворювання.

3. Вибрати нові значення параметра Yі за методикою п. 2 знову визначити нові значення параметрівSдля всіх трьох форм протікання хвороби.

4. Збільшувати значення параметра Yдоти, доки при мі­ні­маль­ному значенні параметраS =0.2 буде спостерігатись лише одна форма протікання хвороби – розсмоктування клі­тин пухлини (кількість різних значень параметраYповинна бу­ти не меншою 10).

У звіті про дане завдання Вам необхідно вказати:

1. Таблицю значень параметра Yз інтервалами значень па­ра­метра S для різних форм протікання захворювання.

2. За вибраними значеннями параметра Yта одержаними в процесі моделювання діапазонами значень параметраSнамалювати області різних форм протікання хвороби.

2.6.3.Математична модель аутоімунного захворювання

Дана модель включає систему трьох диференційних рів­нянь:

dX/dt= AX – BX ²– CXY,

dY/dt=DZY – EZY – KY,

dZ/dt= LXY – MZ,

де X–концентрація клітин здорової тканини, не враженої за­хворюванням;

Y–концентрація лімфоцитів-кілерів, що руйнують клітини тканини органа при аутоімунному захворюванні;

Z–концентрація антигенів, що виділяються при руйнуванні клі­тин тканини.

У даній математичній моделі мають місце такі фактори:

У диференційному рівнянні для “X”–

1) Розмноження клітин здорової тканини (AX);

2) Природне відмирання клітин здорової тканини (–BX ²);

3) Загибель клітин тканини під дією лімфоцитів імунної системи (–CXY);

У диференційному рівнянні для “Y”–

4) Розмноження популяції лімфоцитів (DZY);

5) Руйнування лімфоцитів при їх взаємодії з клітинами тка­нини (–EZY);

6) Природна загибель лімфоцитів (–KY);

У диференційному рівнянні для “Z”–

7) Синтез антигенів клітинами тканини (–LXY);

8) Розпад антигенів (–MZ).

Процеси, які описує дана математична модель аутоімун­ної реакції, такі:

А) при будь-яких початкових руйнуваннях тканини і кон­центрації агресивних лімфоцитів (Y(0)) організм здатний повністю відновити пошкоджену тканину;

Б) повне зруйнування тканини органа при аутоімунному за­хворюванні;

В) хронічне протікання аутоімунного захворювання з пе­ріодич­ними рецидивами.

Використання комп’ютерного моделювання на основі математичної моделі аутоімунного захворювання можливе в практичній медицині. При лікуванні аутоімунного захворюван­ня застосовують кортикостероїдні препарати (типу гід­ро­кор­тизону). Ці препарати пригнічують виникнення лімфо­ци­тів-кілерів (зменшуютьYу наших рівняннях). Такий вплив на лімфоцити-кілери дозволяє перевести хронічну фор­му захворювання у форму, що веде до одужання (тобто до стабілізації кількості клітин тканини на нормальному рів­ні).

У завданні до даної моделі необхідно:

1. Розробити прогноз протікання захворювання без лі­ку­ва­ня.

2. На основі прогнозу вибрати стратегію лікування, тоб­то вибрати день призначення кортикостероїдного лікуваль­но­го препарату.

3. Оптимізувати вибір дози введення препарату для оду­­жання протягом не більшеNдіб (N– задається викладачем).

При виконанні другого пункту завдання за результатом прогнозу необхідно обрати час введення лікувального препарату та, зміню­ючи його дозу, аналізувати хід протікання хвороби. Якщо протягом заданого часу введення препарату про­цес одужання не настає, то вибрати новий момент введен­ня і повторити аналіз проті­кан­ня хвороби до настання одужання пацієнта. День введення препарату повинен обиратись як ціле число, а доза препарату – вільні числа.

У звіті про дану модель необхідно вказати:

1. Графік протікання хвороби при прогнозі.

2. Графік протікання хвороби при появі перших показників одужання.

3. Графік протікання хвороби при одужанні протягом не більше Кдіб.