АиГ / тема 10

Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Тема 10. Прямая и плоскость в пространстве. − 4 ч.

Содержание: смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве.

Цель: сформировать навыки применения метода координат для решения стереометрических задач о плоскостях и прямых в пространстве.

Форма контроля: опрос.

Задачи

Задача 1 ([8], 1038). Доказать, что прямая , , параллельна плоскости .

Задача 2 ([8], 1039). Доказать, что прямая , лежит в плоскости .

Задача 3 ([8], 1040). Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Задача 4 ([8], 1041). Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку и середину отрезка прямой , , заключенного между плоскостями , .

Задача 5 ([8], 1042). Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости .

Задача 6 ([8], 1043). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

Задача 7 ([8], 1044). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой , .

Задача 8 ([8], 1045). При каком значении прямая параллельна плоскости ?

Задача 9 ([8], 1046). При каком значении прямая , параллельна плоскости ?

Задача 10 ([8], 1047). При каких значениях и прямая , , лежит в плоскости ?

Задача 11 ([8], 1048). При каких значениях и плоскость перпендикулярна к прямой , , ?

Задача 12 ([8], 1049). При каких значениях и прямая перпендикулярна к плоскости ?

Задача 13 ([8], 1050). Найти проекцию точки на прямую , , .

Задача 14 ([8], 1051). Найти точку , симметричную точке относительно прямой , .

Задача 15 ([8], 1052). Найти точку симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .

Задача 16 ([8], 1053). Найти проекцию точки на плоскость .

Задача 17 ([8], 1054). Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

Задача 18 ([8], 1055). На плоскости Oxy найти точку , сумма расстояний которой до точек и была бы наименьшей.

Задача 19 ([8], 1056). На плоскости Oxz найти такую точку , разность расстояний которой до точек и была бы наибольшей.

Задача 20 ([8], 1057). На плоскости найти такую точку , сумма расстояний которой до точек и была бы наименьшей.

Задача 21 ([8], 1058). На плоскости найти такую точку , разность расстояний которой до точек и была бы наибольшей.

Задача 22 ([8], 1059). Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения со скоростью в направлении вектора . Убедившись, что траектория точки пересекает плоскость , найти:

1. точку их пересечения;

2. время, затраченное на движение точки от до ;

3. длину отрезка .

Задача 23 ([8], 1060). Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения со скоростью по перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость . Составить уравнение движения точки и определить:

1. точку пересечения её траектории с этой плоскостью;

2. время, потраченное на движение точки от до ;

3. длину отрезка .

Задача 24 ([8], 1061). Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения в направлении вектора со скоростью . Определить, за какое время она пройдет отрезок своей траектории, заключенный между параллельными плоскостями .

Задача 25 ([8], 1062). Вычислить расстояние точки от прямой

Задача 26 ([8], 1063). Вычислить расстояние от точки до следующих прямых:

1)

2) , , ;

3) , .

Задача 27 ([8], 1064). Убедившись, что прямые

, ,

параллельны, вычислить расстояние между ними.

Задача 28 ([8], 1065). Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельно прямым ,

Задача 29 ([8], 1068). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , , и точку .

Задача 30 ([8], 1070). Доказать, что прямые , , лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.

Задача 31 ([8], 1072). Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые , .

Задача 32 ([8], 1074). Найти проекцию точки на плоскость, проходящую через параллельные прямые , .

Задача 33 ([8], 1075). Найти точку , симметричную точке относительно плоскости, проходящей через , и .

Задача 34 ([8], 1076). Найти точку , симметричную точке относительно плоскости, проходящей через прямые , , , .

Задача 35 ([8], 1077). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , , параллельно прямой , .

Задача 36 ([8], 1079). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости .

Задача 37 ([8], 1081). Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую

Задача 38 ([8], 1082). Составить параметрические уравнения прямой, которая параллельна плоскостям

3х +12y – 3z – 5 = 0, 3x – 4y + 9z + 7 = 0

и пересекает прямые , .

Задача 39 ([8], 1083). Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1. , ;

2. , , ;

, , ;

3. 

, , .

Тема 10.

Ответы

Задача 3 ([8], 1040). 1) ; 2) Прямая, парлелльна плоскости; 3) Прямая лежит на плоскости.

Задача 6 ([8], 1043). .

Задача 7 ([8], 1044). .

Задача 8 ([8], 1045). .

Задача 9 ([8], 1046). .

Задача 10 ([8], 1047). , .

Задача 11 ([8], 1048). , .

Задача 12 ([8], 1049). , .

Задача 13 ([8], 1050). .

Задача 14 ([8], 1051). .

Задача 15 ([8], 1052). .

Задача 16 ([8], 1053). .

Задача 17 ([8], 1054). .

Задача 18 ([8], 1055). .

Задача 20 ([8], 1057). .

Задача 21 ([8], 1058). .

Задача 22 ([8], 1059). 1) .

Задача 23 ([8], 1060). , , ;

1) ; 2) От до ; 3) .

Задача 24 ([8], 1061). За промежуток времени, равный 3.

Задача 25 ([8], 1062). .

Задача 26 ([8], 1063). 1) 21; 2) 6; 3) 15.

Задача 27 ([8], 1064). .

Задача 28 ([8], 1065). .

Задача 29 ([8], 1068). .

Задача 30 ([8], 1070). .

Задача 32 ([8], 1074). .

Задача 33 ([8], 1075). .

Задача 34 ([8], 1076). .

Задача 35 ([8], 1077). .

Задача 36 ([8], 1079). .

Задача 38 ([8], 1082). , , .

Задача 39 ([8], 1083). 1) ; 2) ; 3) .