Применения общей топологии
С самого начала возникновения топологии как отдельной математической науки – в трудах Пуанкаре в конце XIX в. – стало очевидным, что для решения важнейших её задач и широкого и глубокого её применения в других областях математики целесообразно и даже необходимо использование алгебраических методов. Топологическое строение фигуры, особенности её расположения в пространстве, признаки, указывающие на топологическое различие (негомеоморфность) двух фигур, проблема возможности распространения данного отображения некоторого подмножества пространства на всё пространство, к которой сводится большое число других важных проблем, представляют собой основные области топологического исследования, прогресс в которых был достигнут именно благодаря применению алгебры. С другой стороны, понятия и методы, выработанные при алгебраическом исследовании указанных задач, оказались важнейшим средством при разработке принципиальных вопросов в других областях математики (а также многих важных вопросов естествознания): теории уравнений (как дифференциальных, так и интегральных), теории функций (действительного и, особенно, комплексного переменных), вариационного исчисления, функционального анализа, геометрии, в частности алгебраической, и даже самой алгебры.
Как сама математика, так и многие другие науки приводят к задачам, в которых надо исследовать гомологические свойства пространств. Поэтому не только с теоретической точки зрения, но и с точки зрения применений важно определить гомологическую группу произвольного пространства и изучить её свойства. Когда советские математики заинтересовались алгебраической топологией – именно теорией гомологии, в работах Пуанкаре, Брауэра, Веблена, Александера и других учёных уже были разработаны основы комбинаторной топологии полиэдров (триангулирующихся пространств) и одним из наиболее актуальных и трудных вопросов был вопрос о перенесении этих результатов на более широкий класс пространств. Московские топологи, вышедшие из школы Д.Ф.Егорова и Н.Н.Лузина и уже получившие фундаментальные результаты по теоретико-множественной топологии, и по широте интересов к абстрактным вопросам, и по опыту работы в теории топологических пространств как нельзя лучше были подготовлены для исследования этой проблемы. Естественно, что за её решение взялся глава московской и вообще советской топологической школы П.С.Александров.
Главные из результатов классической алгебраической топологии имели решающее влияние на развитие этой области математики и создали заслуженную славу и авторитет отечественной топологии.
Развитие алгебраической топологии было весьма интенсивным. Выработан целый ряд фундаментальных понятий современной математики, неожиданных новых схем математического рассуждения, создан единый и стройный чрезвычайно разветвлённый аппарат, позволяющий с весьма общей единой точки зрения находить подходы и решать трудные проблемы самых различных областей математики, например дифференциальной геометрии и динамических систем, вариационного исчисления и теории уравнений в частных производных, групп Ли, алгебры и алгебраической геометрии, теории чисел и теории функций многих комплексных переменных.
Большая заслуга в этом принадлежит отечественной школе гомотопической и дифференциальной топологии. Достаточно назвать созданные Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом методы вариационного исчисления в целом, теорию характеров Понтрягина, теорию двойственности в топологии.
Гомотопическая топология. В конце 20-х годов, т. е. когда появились первые работы Л.А.Люстерника и Л.Г.Шнирельмана по вариационному исчислению в целом, гомотопическая топология находилась ещё в зачаточном состоянии. Основные её понятия, например гомотопические группы, были ещё не выявлены. Содержательные задачи гомотопического характера в это время могли возникнуть лишь вне самой топологии. И, действительно, такие задачи возникли в анализе, стимулируя выделение гомотопической топологии в отдельную ветвь математики. Частные результаты в этом направлении кроме самого Пуанкаре были получены Дж.Биркгофом и др. Интересные факты незадолго до смерти установил П.С.Урысон. Однако наиболее общие исследования принадлежат Л.А.Люстернику и Л.Г.Шнирельману. Они были суммированы в известной брошюре "Топологические методы в вариационном исчислении" (1930 г.).
Дифференциальная топология. Примерно с середины 30-х и до конца 40-х годов одно из центральных мест в советской и мировой топологии заняли работы Л.С.Понтрягина и его школы. Этими работами (вместе с работами Уитни) был заложен фундамент нового направления в математике, называемого ныне дифференциальной топологией, хотя оно выделилось окончательно из собственно топологии лишь в 1956 г.
Здесь трудно рассказывать о судьбе упоминавшихся идей и методов в последующем развитии топологии – она очень сложна; все они получили многочисленные применения, хотя уже и не в тех задачах, для которых создавались.
1. Рыбников К. А. История математики. М. 1974.