1. Общая теория топологических пространств

Рассмотрим вкратце основные понятия общей теории топологических пространств: база и вес топологического пространства, аксиомы отделимости, вполне регулярные, нормальные и паракомпактные пространства, свойства типа компактности, проблема метризации, аппроксимация пространств полиэдрами, топологические группы и их фактор-пространства. При этом попытаемся проследить, в работах каких авторов впервые возникли соответствующие понятия и факты.

База и вес. Задать топологию на множестве значит выделить систему всех открытых подмножеств. Однако задать топологию на пространстве можно и с помощью выделения значительно меньшей системы множеств – базы топологического пространства. Система открытых множеств пространства X называется базой, если для любой точки x X и любой её окрестности U в этой системе найдётся такое множество V, что x V U (окрестностью называется любое открытое множество, содержащее точку). Всякое открытое множество, очевидно, является объединением некоторых множеств из базы. Весом топологического пространства называется наименьшая мощность базы этого пространства. Пространства счётного веса называются также пространствами со счётной базой.

Таким образом, базу можно представлять себе как набор элементарных кирпичиков, из которых складываются все дальнейшие конструкции. Вес это просто минимальный набор, необходимый для построения произвольных конструкций.

Всякое множество в X, дополнение к которому является открытым, называется замкнутым в X. Точка x называется предельной для множества в A X, если всякая окрестность этой точки пересекает множество A. Замыканием множества A в пространстве X называется множество [A] X, состоящее из всех предельных точек множества A; очевидно A [A]. Замкнутые множества пространства X полностью характеризуются тем, что содержат все свои предельные точки.

Аксиомы отделимости. Топологические пространства изучаются с различных точек зрения, в зависимости от тех задач, в которых они возникают. При этом пространства, которые приходится рассматривать, как правило, удовлетворяют различного рода дополнительным условиям, например условиям типа компактности, условиям веса, размерности, локальным условиям и др.

Начнём с рассмотрения условий, которые получили название аксиом отделимости. Впервые классификация топологических пространств с точки зрения отделимости была дана в работах П. С. Александрова и П. С. Урысона. Перечислим наиболее употребительные из этих аксиом.

Аксиома T₀ (А. Н. Колмогоров): из любых двух точек пространства по крайней мере одна обладает окрестностью, не содержащей другую точку. T₀-пространства нашли применение, в частности, в теории проекционных спектров Александрова.

Аксиома T₁: каждая из любых двух точек пространства имеет окрестность, в которой не содержится другая точка. Класс T₁-пространств существенно уже класса T₀. Пространство принадлежит классу T₁ тогда и только тогда, когда всякое одноточечное множество в этом пространстве замкнуто.

Аксиома T₂ (Хаусдорф): всякие две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности. Пространства этого класса называются хаусдорфовыми. Класс хаусдорфовых пространств играет существенную роль в общей топологии.

Аксиома T₃: для всякой точки и любого не содержащего её замкнутого множества у этой точки найдётся окрестность, замыкание которой не пересекается с этим множеством. T₁-пространства этого класса называются регулярными. Значение регулярных пространств видно из следующего классического результата П. С. Урысона: пространство счётного веса тогда и только тогда является регулярным, когда оно гомеоморфно некоторому подмножеству гильбертова параллелепипеда (таким образом, класс регулярных пространств со счётной базой исчерпывается подмножествами гильбертова векторного пространства.) (Этот результат приведён в усиленной формулировке А. Н. Тихонова.) (Напоминаем, что понятие гомеоморфизма основано на определении непрерывного отображения. Именно, отображение f: X Y называется непрерывным, если полный прообраз f^--1U всякого открытого в Y множества U открыт в X. Два пространства X и Y называются топологически эквивалентными или гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение пространства X на пространство Y. Гомеоморфные пространства обладают одинаковыми свойствами с точки зрения топологии.)

Тихоновское произведение и аксиома T_ρ. Одним из важнейших классов топологических пространств является класс вполне регулярных пространств – это T₁-пространства, удовлетворяющие аксиоме T_ρ (см. ниже). Вполне регулярные пространства введены А. Н. Тихоновым и поэтому называются также тихоновскими пространствами.

Аксиома T_ρ: для всякой точки x X и любого не содержащего x замкнутого множества F X существует непрерывная на пространстве X функция f, такая, что fx=0 и fy=1 для всех y F (говорят, что эта функция отделяет x и F).

Прежде чем объяснить значение вполне регулярных пространств в топологии, напомним определение бесконечного произведения топологических пространств, также принадлежащее А. Н. Тихонову.

Пусть X_α, α A – некоторое множество топологических пространств и X =  – множество, состоящее из всех функций x, определённых на A и таких, что x(α)=x_α X_α для всякого α A. Обозначим через  множество всех таких x X, для которых x_α принадлежит фиксированному открытому множеству U_α из пространства X_α. Множества в X вида  и их всевозможные конечные пересечения можно взять в качестве базы открытых множеств. Нетрудно проверить, что таким способом на X определяется топология. Топологическое пространство X называется произведением топологических пространств X_α. В качестве пространств X_α можно взять набор единичных отрезков I=[0,1]. Получающееся при этом топологическое произведение называется тихоновским параллелепипедом (при счётном A он превращается в гильбертов параллелепипед).

Оказывается, что на всяком вполне регулярном пространстве каждое множество функций, отделяющих точки от замкнутых множеств, определяет отображение в некоторый тихоновский параллелепипед, которое является гомеоморфизмом. Если при этом топологический вес пространства равен некоторому кардинальному числу τ, то существует гомеоморфное отображение пространства X в параллелепипед I^τ – произведение τ единичных отрезков I. Таким образом, для вполне регулярных пространств справедливо следующее обобщение отмеченного выше результата П. С. Урысона: топологическое пространство веса τ тогда и только тогда является вполне регулярным, когда оно гомеоморфно некоторому подмножеству тихоновского параллелепипеда I^τ. Вполне регулярные пространства являются естественным классом пространств, который возникает в равномерной топологии, теории бикомпактных расширений, топологической алгебре и других разделах топологии.

Нормальные пространства (П.С.Александров, П.С.Урысон).

Аксиома T₄: всякие два непересекающиеся замкнутые множества пространства имеют непересекающиеся окрестности. T₁-пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются нормальными.

Как показал П. С. Урысон, на самом деле в нормальных пространствах непересекающиеся замкнутые множества отделимы функционально. Более того, справедлива следующая доказанная Урысоном теорема: ограниченная непрерывная функция, заданная на замкнутом подмножестве нормального пространства, может быть продолжена с этого подмножества на всё пространство. Н. Б. Веденисов показал, что условие ограниченности порождаемой функции можно опустить.

Всякое нормальное пространство является вполне регулярным. Однако класс нормальным пространств существенно уже класса вполне регулярных пространств, более того, подмножество нормального пространства может, вообще говоря, не быть нормальным пространством (в то время как всякое подмножество вполне регулярного пространства вполне регулярно). Топологическое пространство, в котором всякое подмножество нормально, называется наследственно нормальным.

Оказалось, что многие классические результаты общей топологии (например, многие результаты из теории размерности), первоначально полученные для более узких классов пространств, наиболее естественно формулировать и доказывать именно для нормальных пространств.

На вполне регулярных и нормальных пространствах уже существует достаточно широкий запас функций, чтобы строить анализ на этих пространствах. Вполне регулярные и нормальные пространства широко используются в теории функций и функциональном анализе.

Паракомпактные пространства. Одним из наиболее важных классов топологических пространств, выделенных за последние десятилетия, является класс паракомпактных пространств. Эти пространства введены Дьедонне в 1944 г., а лежащее в основе их определения понятие локально конечного покрытия было введено П.С.Александровым ещё в 1924 г. Паракомпактные пространства играют существенную роль в теории непрерывных отображений, теории размерности, теории гомологий общих пространств и многих других разделах топологии.

Пространство называется паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Напомним, что покрытием пространства называется любая система множеств, объединение которых есть всё пространство. Покрытие называется открытым, если все входящие в него множества открыты. Система множеств называется локально конечной, если у каждой точки пространства есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств из этой системы. Существенную роль в теории метрических пространств играет тот факт, что всякое метризуемое пространство паракомпактно (Стоун).

Свойства типа компактности. Паракомпактность является ограничением иного рода, по сравнению с ограничениями, сформулированными в аксиомах отделимости. Паракомпактность – это одно из свойств "типа компактности".

Существенное влияние на развитие общей топологии оказало введённое П.С.Александровым понятие бикомпактности. Александров и Урысон создали теорию бикомпактных пространств. Бикомпактные пространства – один из главных объектов исследования в общей топологии – и в настоящее время находятся в центре внимания математиков. Они играют важную роль в теории размерности, теории гомологий и других разделах топологии, а также имеют основное значение в функциональном анализе. Всякое вполне регулярное пространство является подмножеством некоторого бикомпактного хаусдорфова пространства.

В настоящее время наиболее распространённым является следующее определение бикомпактного пространства: пространство называется бикомпактным, если из всякого открытого покрытия этого пространства можно выбрать конечное число покрывающих множеств.

Таким образом, в основу определения бикомпактного пространства положено утверждение леммы Бореля–Лебега о выделении конечного покрытия из любого открытого покрытия замкнутого ограниченного множества евклидова пространства. В классической теореме Больцано – Вейерштрасса устанавливается следующий факт: замкнутые ограниченные множества среди множеств евклидова пространства характеризуются тем, что в них всякая последовательность точек содержит в себе сходящуюся подпоследовательность. Это утверждение было положено Фреше в основу определения компактности для метрических пространств и равносильно бикомпактности для этих пространств. В основу первоначального определения бикомпактного пространства П.С.Александровым было положено следующее условие, являющееся обобщением теоремы Больцано–Вейерштрасса: для каждого бесконечного множества M пространства X в этом пространстве должна существовать точка полного накопления, т. е. такая, точка x, что всякая её окрестность пересекает M по множеству, мощность которого равна мощности множества M. Александров и Урысон доказали эквивалентность этого определения определению на языке покрытий, а также эквивалентность бикомпактности пространства следующему условию, накладываемому на пространство: всякая вполне упорядоченная система непустых вложенных друг в друга замкнутых множеств имеет непустое пересечение. Последнее, очевидно, является обобщением леммы о вложенных отрезках.

Определение компактности, данное Фреше для метрических пространств, можно без изменения применять и к общим топологическим пространствам. Однако в общем случае компактные пространства могут не быть бикомпактными: компактность топологического пространства эквивалентна требованию, чтобы из любого счётного открытого покрытия этого пространства можно было выбрать конечное покрытие. Аналогично, компактность топологического пространства эквивалентна тому, что любая счётная последовательность вложенных друг в друга непустых замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

В литературе можно встретить и другие классы пространств, родственные бикомпактным, например псевдокомпактные, квазикомпактные. Бикомпактные пространства занимают главное место среди них и играют такую же роль в общей топологии, как компакты в классе метризуемых пространств.

Наибольший интерес представляют бикомпактные хаусдорфовы пространства, которые называются бикомпактами. Всякий бикомпакт автоматически является нормальным пространством.

Во всех этих определениях требуется, чтобы пространство обладало следующим свойством: в любое покрытие этого пространства некоторого специального типа можно вписать покрытие другого специального типа. Ю. М. Смирнов предложил называть подобные свойства топологического пространства свойствами типа компактности. К ним относится, например, даже свойство иметь размерность dim, не превосходящую данного числа k.

К свойствам типа компактности относится и свойство H-замкнутости, введённое и исследованное П.С.Александровым и П.С.Урысоном. Хаусдорфово пространство называется H-замкнутым, если оно замкнуто во всяком объемлющем его хаусдорфовом пространстве. H-замкнутым пространствам посвящены также работы А.Н.Тихонова, А.Д.Александрова, С.В.Фомина, Н.А.Шанина.

Наконец, отметим ещё один важный класс топологических пространств – локально бикомпактные пространства. Пространство называется локально бикомпактным, если каждая точка этого пространства обладает окрестностью с бикомпактным замыканием. Локально бикомпактные пространства ввёл впервые П.С.Александров. Им было показано, что всякое локально бикомпактное хаусдорфово пространство можно получить "выкалыванием" точки из некоторого бикомпакта, называющегося одноточечным бикомпактным расширением этого пространства.

Проблема метризации. Метрические пространства являются частным случаем топологических пространств.

Определение. Метрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(x, y), определённой для любых x и y из X и подчинённой следующим трём аксиомам:

1)      аксиома тождества: ρ(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;

2)      аксиома симметрии: ρ(x, y)=ρ(y,x);

3)      аксиома треугольника: ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) для любых x, y, z из X.

В теории метрических пространств основные понятия (предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества и т. д.) вводят, опираясь на понятие окрестности или, что, по существу, то же самое, на понятие открытого множества. Эти последние понятия (окрестность, открытое множество) в свою очередь определяются с помощью метрики, заданной в рассматриваемом пространстве.

Полезность вводимого в метрическом пространстве понятия "расстояния между элементами" заключается в формализации представления о близости элементов (элементы близки, если расстояние между ними мало).

Для уяснения различий между понятиями топологического и метрического пространств сопоставим их по необходимости их введения.

Понятие топологического пространства можно рассматривать как аксиоматизацию понятия близости точки к множеству: точка близка к множеству, если она принадлежит его замыканию. Теория метрических пространств является аксиоматизацией понятия близости точек: в метрическом пространстве каждой паре точек соответствует вещественное число – расстояние между ними, основные свойства которого описываются системой аксиом.

Класс метрических пространств стал первым классом абстрактных пространств, на который был успешно обобщён ряд понятий и результатов, открытых при изучении подмножеств вещественной прямой и евклидовых пространств. Класс метрических пространств достаточно обширен и включает в себя много объектов, изучаемых в различных областях математики. Это позволило описывать эти объекты на геометрическом языке. В то же время пространства этого класса кажутся достаточно простыми, и к ним применима геометрическая интуиция. Понятие метрического пространства было введено М. Фреше в его диссертации 1906 г.

М.Фреше в связи с рассмотрением функциональных пространств ввёл понятие метрического пространства, в рамках которого получили естественное обобщение понятия предыдущего периода; кроме того, Фреше ввёл понятия полноты и компактности метрического пространства.

Понятие топологического пространства (Хаусдорф, 1914) открыло ещё более широкие возможности. Таким образом, предпосылки для создания теории метрических и топологических пространств обозначились достаточно давно, ещё в начале XX века. Это подтвержается следующей выдержкой: "М.Фреше (1906) и Ф. Хаусдорф (1914), исследуя введённое Кантором понятие связности и другие примыкающие к нему, развили топологическую теорию множеств как теорию множеств, расположенных в общих метрических и топологических пространствах"

Об истоках этой теории, ведущих ещё к Вейерштрассу и Кантору, говорят и Н.Бурбаки в "Очерках по истории математики":

"Равномерные пространства.

Распространение идей Вейерштрасса и Кантора на более общие пространства началось после того, как стали изучать вначале на частных случаях, а затем в общем виде метрические пространства, в которых задано расстояние (числовая функция пар точек, удовлетворяющая некоторым аксиомам) и определены одновременно топология и равномерная структура. М. Фреше, который первым дал общее определение этих пространств, понял всю важность значения принципа Коши и ввёл для метрических пространств понятие предкомпактного, или "вполне ограниченного" пространства. Хаусдорф, развивая в "Mengenlehre" теорию метрических пространств, выяснил, в частности, что к ним применимо построение Кантора и тем самым получил из любого метрического "неполного" пространства (иными словами, пространства, в котором не выполняется принцип Коши) "полное" метрическое пространство.

Метрические пространства суть "равномерные пространства" особой природы.

Метрические пространства.

Понятие метрического пространства после 1920 г. приобретает большое значение благодаря фундаментальным трудам С. Банаха и его школы.

За период времени с 1920 по 1930 гг. московская школа провела целую серию исследований топологических свойств метрических пространств. В частности, эти работы были направлены на получение необходимых и достаточных условий того, чтобы данное топологическое пространство было метризуемым. Проблема расширения на всё пространство числовой непрерывной функции, определённой на замкнутом множестве, впервые была исследована (для случая плоскости) А.Лебегом и Г.Тицем для метрических пространств.

Было замечено, что метрические пространства являются естественной областью для исследования процессов предельного перехода (для последовательностей функций), развиваемых начиная с 1910 г. главным образом русской и польской школами."

Элементарные примеры показывают, что одно и то же топологическое пространство может быть получено из нескольких различных метрических пространств, т. е. с одной и той же топологией совместимы разные метрики. Если на топологическом пространстве может быть задана хотя бы одна метрика, то говорят, что оно метризуемо. Естественно, возникает вопрос об отыскании топологических характеристик метризуемых пространств. В этом и состоит проблема метризации.

Проблема метризации постоянно находилась в центре внимания исследователей в области общей топологии. Первые условия метризуемости были найдены П.С.Александровым и П.С.Урысоном.

Решение метризационной проблемы Александровым и Урысоном вовсе не означает, что условия метризации являются окончательными, что нельзя найти какие-нибудь новые, эквивалентные, но, может быть, более простые и удобные условия. Однако долгое время в этом направлении практически не было получено никаких новых результатов. И лишь в самом начале 50-х годов в проблеме метризации произошёл новый сдвиг. Сразу три математика – Бинг, Нагата и Ю.М.Смирнов нашли следующее условие, необходимое и достаточное для метризуемости топологического пространства: топологическое пространство должно быть регулярным и иметь базу, распадающуюся на счётное множество локально конечных систем множеств.

Интерес к проблеме метризации не был утрачен и после получения этого критерия метризуемости.

Аппроксимация пространств полиэдрами. Одним из фундаментальных методов исследования топологических пространств является предложенный П.С.Александровым метод аппроксимации пространств полиэдрами. В некотором смысле любое пространство с любой степенью точности можно приблизить полиэдром. Метод аппроксимации полиэдрами тесно связан с методом покрытий – одним из наиболее основных средств исследования топологических пространств; при этом связь осуществляется посредством введённого Александровым в 1926 г. классического понятия нерва покрытия. Нервом покрытия топологического пространства называется комплекс, вершины которого взаимно однозначно соответствуют элементам покрытия, причём несколько вершин могут принадлежать какому-нибудь симплексу тогда и только тогда, когда соответствующие этим вершинам элементы покрытия имеют непустое пересечение. Таким образом, каждому открытому покрытию пространства можно поставить в соответствие комплекс; при этом, грубо говоря, чем мельче покрытие пространства, которое мы берём, тем точнее его нерв "приближает" пространство.

При помощи канонического отображения в нерв приближение пространства полиэдром можно осуществить чисто геометрически. Взяв покрытие компакта (в гильбертовом пространстве) открытыми множествами малого диаметра, реализуем нерв этого покрытия таким образом, чтобы вершины его симплексов находились в достаточной близости от соответствующих элементов покрытия. П.С.Александров называет канонические отображения такого вида ε-сдвигами пространства в полиэдры.

Наконец, топологические пространства можно получить и в качестве предела полиэдров (или комплексов). Это можно сделать двумя похожими, но различными способами. Один из этих способов предложен Фрейденталем для компактов и состоит в том, что пространство представляется в качестве обратного предела последовательности полиэдров с кусочно-линейными отображениями.

Другой способ предложен П.С.Александровым ещё в 20-х годах и заключается в том, что топологическое пространство представляется в качестве предела проекционного спектра.

Топологические группы и их фактор-пространства. Пусть G – топологическая группа, H – её замкнутая подгруппа и B=G/H – фактор-пространство. Пространства G и B вполне регулярны. Это было впервые замечено Л.С.Понтрягиным и Вейлем. Пространство G может не быть нормальным: как показал А.А.Марков, всякое вполне регулярное пространство гомеоморфно замкнутому подмножеству некоторой топологической группы.

Многочисленные исследования посвящены изучению влияния алгебраической структуры на топологию пространства G. А.А.Марков изучил вопрос о том, какие топологии можно определить на множестве элементов одной и той же абстрактной группы. А.А.Марковым построена теория свободных топологических групп. Абелевым топологическим группам посвящены работы Н.Я.Виленкина.

Создание теории локально бикомпактных групп в значительной степени связано с именем Л.С.Понтрягина. Важное место в теории локально бикомпактных групп занимают работы А.И.Мальцева.

Исследования, начатые Понтрягиным ещё в 30-е годы, были завершены лишь в начале 50-х годов в работах Ивасавы, Глисона, Монтгомери и Циппина, а также Ямабе.

Однако и после этого интерес к локально бикомпактным группам не утратился. В.М.Глушков полностью исследовал локальную структуру некоммутативных локально бикомпактных групп.

Из других классов групп значительный интерес представляют метризуемые группы. Недавно Б.А.Пасынков исследовал топологические группы, являющиеся обобщением как метризуемых, так и локально бикомпактных групп.