Если проблема нелинейна по своему характеру, если в ней участвует более чем одна система координат или более чем одно переменное или если она касается нелокальным образом определяемой структуры, то решение этой проблемы обычно требует привлечения топологии или теории групп. Классический анализ, как правило, применяется при решении подобных проблем как средство предварительного локального изучения, последующая же глобализация производится с помощью топологии или теории групп.
М.Морс, Вариационное исчисление в целом, 1934
1. Топология (от греч. τόπος (tоpos, топос) – место и λόγος (logos, логос) – слово, учение) – часть геометрии, посвященная изучению феномена (раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление) непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела).
Топология изучает свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Такими свойствами являются, например, связность, ориентируемость, размерность.
Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой топологии на ряд отделов («общая топология», «алгебраическая топология» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.
Топология возникла в результате пересмотра с общей точки зрения ряда фундаментальных фактов геометрии и математического анализа. Уже вскоре после возникновения топологии стало ясно, что в её рамках можно не только обсуждать свойства объектов, возникших в других в других пределах математики, но и конструировать новые топологические объекты. Так вошли в топологию и в математику в целом такие понятия, как произведение топологических пространств, пространство отображений, пространство замкнутых подмножеств.
Категория всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология и исключительно плодотворное влияние топологических идей на развитие математической науки является в настоящее время общепризнанным. В особенности за последние десятилетия эти понятия проникают почти во все разделы математики, физики, механики. Например, в математическом анализе широко используются понятия открытого множества, замкнутого множества, замыкания, непрерывности функции и отображения, компактность и многие другие.
1.1. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596-1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V - E + F = 2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. В 1752 швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777-1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808-1882), П. Тэйт (1831-1901) и Дж. Александер. В 1840 А. Мебиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).
1.2. Топология как наука сформировалась, по общему мнению, в трудах великого французского математика А.Пуанкаре в конце XIX в. Первые наблюдения топологического характера восходят к Л.Эйлеру и К.Гауссу. Начало топологических исследований можно отнести к работам Б.Римана (середина XIX в.). В его исследованиях по теории функций были развиты новые методы, основывающиеся на геометрических представлениях. Им была сделана попытка сформулировать понятие многомерного многообразия и ввести высшие порядки связности. Эти понятия были уточнены Э.Бетти (1871). Но только А.Пуанкаре, исходя из потребностей теории функций и дифференциальных уравнений, ввел целый ряд важнейших топологических понятий, развил содержательную теорию и применил ее к исследованиям в различных разделах математики и механики. Его идеи и поставленные им проблемы до сих пор существенно влияют на развитие топологии и ее приложений. не только в обычном пространстве, в более чем трех измерениях представляет громадные трудности, и чтобы начать пытаться их преодолевать, нужно быть очень убежденным в крайней важности этой науки. Если эта важность не всеми понята, то это потому, что об этом недостаточно размышляли»
Чтобы уяснить, что понимается под качественными свойствами геометрических фигур, представим себе сферу в виде резиновой оболочки и разрешим сжимать и растягивать ее любым способом без разрывов и не «склеивающим» различные ее точки в одну. Такие преобразования сферы называются гомеоморфизмами, а различные фигуры, получающиеся при гомеоморфизмах, – гомеоморфными между собой. Качественные свойства сферы – это свойства, общие всем гомеоморфным ей фигурам, или, как говорят, сохраняющиеся при гомеоморфизмах.
Очевидно, можно говорить о гомеоморфизмах и качественных свойствах и других фигур. Качественные свойства принято также называть топологическими. Очевидно такое топологическое свойство сферы, как ее целостность (связность). Более глубокие свойства обнаружатся при попытке установить гомеоморфизм сферы, например, с кругом (или с шаром). Легко прийти к убеждению, что такой гомеоморфизм невозможен. Полезно обратить внимание и на топологическое различие между волейбольной и велосипедной камерами. Эти интуитивные представления нуждаются в строгом обосновании.
Исследования А.Пуанкаре дали начало одному из направлений в топологии – комбинаторной, или алгебраической, топологии. Ее метод заключается в сопоставлении геометрическим фигурам по некоторому, общему для всех фигур, правилу алгебраических объектов (групп, колец и т. п.) так, что определенным отношениям между фигурами соответствуют алгебраические отношения между объектами. Изучение свойств алгебраических объектов проливает свет на свойства геометрических фигур. Алгебраические объекты, построенные А.Пуанкаре, суть группы гомологии и фундаментальная группа.
Развитие метода алгебраической топологии неизбежно привело к объединению с теоретико-множественными идеями (Г.Кантор – конец XIX в.; Ф.Хаусдорф – первое десятилетие XX в.). Действительно, исследование качественных свойств множеств в пространствах любого числа измерений в дальнейшем вылилось в понятие топологического пространства — фундаментальное понятие, пронизывающее всю математику. Оно связано не только с рассмотрением геометрических фигур в конечномерных пространствах: развитие теории функции действительного переменного и функционального анализа привело к построению функциональных пространств, которые, как правило, бесконечномерны.
Топологические пространства и их непрерывные отображения, изучение их общих свойств составили содержание одного из разделов топологии, известного под названием «общая топология».
Дать точное описание достигнутых результатов (и даже постановок задач) невозможно без знакомства с началами общей и алгебраической топологии.
[Представление о некоторых задачах, стимулировавших топологические исследования. Непрерывное отображение, его связь с понятием непрерывной числовой функции, строгие доказательства привычных свойств непрерывных отображений, понятие гомеоморфизма и наглядные примеры гомеоморфных и локально гомеоморфных пространств.]
2. Любой человек, изучавший начала математического анализа, понимает важность понятия непрерывности функции. Немного упрощая ситуацию, можно сказать, что непрерывность числовой функции – это математическая формализация следующего свойства: график этой функции можно нарисовать на листе бумаги, не отрывая карандаша, то есть график нигде не разрывается. Числовая функция есть частный случай более общего понятия отображения, которое определяется уже не для чисел, а для элементов произвольных множеств. Возникает вопрос, можно ли определить понятие непрерывности отображений на множествах. Оказывается, для того чтобы корректно ввести это понятие, необходимо задать на множествах дополнительную структуру, так называемую топологию; множество с указанной структурой называется топологическим пространством. Математическая дисциплина, изучающая указанные выше понятия (и не только их), тоже называется топологией.
Мы коснемся самых начальных понятий этой дисциплины, попытаемся хотя бы немного описать задачи, стоящие перед ней, привести экзотические и не очень экзотические примеры топологических пространств, объяснить, что из привычных нам вещей сохраняется в общих топологических пространствах, а что (и, главное, как) может меняться, и т.д. Мы попытаемся дать достаточно строгое, но вместе с тем простое изложение начал топологии. И если это первоначальное знакомство заинтересует читателя, следует обратиться к книгам, указанным в списке литературы…
В математическом анализе широко используется понятие открытого множества (например) на числовой прямой: множество называется открытым, если для любой его точки достаточно малый интервал с центром в этой точке содержится в этом множестве. Для открытых множеств выполняются два важных свойства: объединение любого (даже бесконечного) набора открытых множеств есть открытое множество и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Оказывается, если некоторый набор множеств обладает этими свойствами, то с множествами из указанного набора можно работать во многом так же, как с обычными открытыми множествами. [Дадим точные определения…]
Множество, на котором «правильно» введено понятие окрестности, называется топологическим пространством. Подчеркнем: требование, чтобы множество было топологическим пространством, является минимальным для того, чтобы было корректно определено понятие непрерывного отображения. [Отметим для полноты, что множество, на котором корректно введено понятие ε-окрестности, называется метрическим пространством.]…
Топологическое пространство – основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.
3. Топология, являющаяся одним из важнейших разделов современной математики, сформировалась в начале ХХ века. В настоящее время это интенсивно развивающаяся наука, в которой различают такие самостоятельные направления, как теоретико-множественную или общую топологию, алгебраическую, комбинаторную, дифференциальную топологию и топологию многообразий. Все эти направления пронизаны единой идеей изучения «сложных» математических объектов путём расчленения на «элементарные» с соблюдением требования непрерывности и, наоборот, непрерывного синтеза «сложных» объектов из «элементарных». Разнообразием форм проявления непрерывности в математике и различием подходов к её изучению порождаются различные направления в топологии. Теоретико-множественная, или общая, топология – это раздел математики, который изучает свойства геометрических объектов, не меняющихся при «деформации» или при преобразованиях, подобных деформациям. В математическом анализе встречается много понятий схожих по своим свойствам и методам исследования. Например, понятие сходимости и предела встречаются в анализе в качестве:
а) предела последовательности;
б) различных типов пределов функций одной переменной;в) пределов функций многих переменных;
г) пределов векторнозначных функций;
д) сходимости интегральных сумм.
Все эти понятия сходимости и предела основаны на некоторых общих для них приёмах исследования, которые интуитивно мы понимаем как близость точек некоторого множества. Другим важнейшим примером являются различные типы понятия непрерывности, к которым тесно примыкает понятие сходимости. Общая топология изучает как раз наиболее общие свойства геометрических пространств и их преобразований, связанных со свойствами сходимости и непрерывности.
Отдельные результаты по топологии были получены в XVIII – XIX веке Л. Эйлером, К. Жорданом, Г. Кантором, А. Пуанкаре и др. В середине прошлого века Б. Риман в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии » дал общую идею построения математических пространств. Но только после того, как в начале ХХ века М. Фреше и Ф. Хаусдорфом были заложены основы теории метрических и топологических пространств, топология стала самостоятельным разделом математики.
Топология находит широкое применение в дифференциальной геометрии теории относительности, теории дифференциальных уравнений, в математическом и функциональном анализе, современной и других разделах математики.
Что касается роли Пуанкаре в развитии топологии, он ее создал в работе «Analysis situs» (1895 г.) и пяти дополнениях к ней. Пуанкаре принадлежат основные идеи, разрабатываемые до сих пор, и важнейшие результаты. Он же является автором многих терминов (гомеоморфизм, гомологи, фундаментальная группа многообразия и др.)
Топологическое пространство – основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей.
Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Но для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. В результате получаем топологическое определение непрерывного отображения.
Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.
Топология находит широкое применение в дифференциальной геометрии, в теории относительности, теории дифференциальных уравнений, в математическом и функциональном анализе, современной алгебре и других разделах математики, в теоретической физике.
4. Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.
Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.
Топология делится на два раздела – общую или теоретико-множественную топологию и алгебраическую топологию. Деление это в значительной мере условно. Одна из основных задач общей топологии – анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. Один из разделов общей топологии – теория размерности. Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В.Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И.Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей. Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В.Кузьминовым, И.Шведовым и В.Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, – с точки зрения дифференциальных уравнений, – в том, что эта теория существенно нелинейна.
В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. …
5. … Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства…
Понятия гомеоморфизма и гомеоморфности являются центральными для многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные пространства. Поскольку гомеоморфные пространства устроены одинаково (см. выше), то их можно не различать, то есть считать разными экземплярами одного и того же объекта. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) – это человек, не отличающий бублик от чайной чашки (задача: постройте гомеоморфизм между бубликом и чашкой с одной ручкой!). Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку)…
6. … Топология изучает характеристики непрерывных отображений и некоторые другие вопросы. При этом часто получаются результаты, важные для приложений. Например, удается вычислить некоторые характеристики непрерывных отображений, входящих в определенные уравнения, которые показывают, имеет ли это уравнение решение. Это очень важно в случаях, когда явно решить уравнение невозможно (не удается найти формулу для решения).
7. …Особое место среди областей топологии занимает общая топология. В настоящее время общая топология достигла того наиболее естественного уровня общности, который позволяет излагать топологические принципы, концепции и конструкции с наибольшей прозрачностью и одновременно обеспечить им максимально широкую приложимость в других разделах математики.
Общая топология – это область математики, в которой изучаются общие геометрические свойства, сохраняющиеся при непрерывных и взаимно однозначных отображениях.
Наряду с алгеброй общая Топология составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.
Аксиоматически определяемыми объектами изучения общей топологии являются пространства и их непрерывные отображения. Под топологическим пространством понимается множество объектов произвольной природы, называемых точками, в котором выделена некоторая система подмножеств, называемых открытыми множествами пространства. Эта система должна включать в себя всё пространство и пустое множество и содержать в себе вместе с любыми двумя множествами их пересечение и вместе с любым набором множеств множество, которое является их объединением.
Существенное влияние на развитие общей топологии оказало введённое П.С.Александровым понятие компактности. Александров и Урысон создали теорию компактных пространств. Компактные пространства – один из главных объектов исследования в общей топологии – и в настоящее время находятся в центре внимания математиков. Они играют важную роль в теории размерности, теории гомологий и других разделах топологии, а также имеют основное значение в функциональном анализе. Всякое вполне регулярное пространство является подмножеством некоторого компактного хаусдорфова пространства.
В настоящее время наиболее распространённым является следующее определение компактного пространства: пространство называется компактным, если из всякого открытого покрытия этого пространства можно выбрать конечное число покрывающих множеств.
Изучаются и другие классы пространств, родственные компактным, например псевдокомпактные, квазикомпактные. Компактные пространства занимают главное место среди них и играют такую же роль в общей топологии, как компакты в классе метризуемых пространств.
Кроме того, общая топология посвящена изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам.
8. …В современной математике пространство определяют как некоторое абстрактное множество произвольных объектов, для которых задана определённая операция, осуществляющая известное отношение между элементами пространства. Базой для построения теории того или иного абстрактного пространства является, с одной стороны, общематематическое понятие множества, под которым понимается произвольная совокупность любых объектов (элементов), а с другой, – установленные определённым образом структурные отношения между этими объектами.
Топологическое пространство – основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.
Топологическое пространство определяется через систему открытых множеств посредством аксиом. Естественно, само это понятие базируется на предварительных общих понятиях «пространство» и «открытое множество».
Пусть дано множество X. Множество T его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:
-
Все X и пустое множество принадлежат T,
-
Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T,
-
Пересечение любых двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T.
Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами.
Потребность в развитии общего подхода к понятию пространства возникла довольно давно – в конце прошлого и начале нынешнего столетия. В связи с развитием теории функций действительного переменного и функционального анализа возникли и другие объекты – функциональные пространства и их подмножества, – для исследования которых также требуются понятия и методы общей топологии.
В настоящее время топологические методы исследования применяются не только в анализе, но и во многих других отраслях математики. Значительной является роль топологических методов в дифференциальных уравнениях. В результате синтеза идей общей топологии и функционального анализа возникла теория топологических векторных пространств. Абстрактные топологические пространства неожиданным образом могут возникать и применяться в самых различных областях математики.
Общепринятое ныне понятие топологического пространства возникло не сразу. Появившееся ранее метрические пространства, которые и по сей день являются важным предметом изучения общей топологии, не могли удовлетворить математиков.
Первые достаточно общие определения топологического пространства даны в работах Фреше, Рисса и Хаусдорфа. Окончательно определение топологического пространства было сформулировано польским математиком К.Куратовским и П.С.Александровым.
9. … Топологию можно подразделить на три области:
1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;
2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;
3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д.