Предисловие

Данная работа является попыткой изложить историю развития топологии как области математики, описать наиболее существенные применения топологической теории в различных разделах самой математики, указать значение общей топологии.

В связи с тем, что отечественные математики внесли огромный вклад в построение теории общей топологии, при изложении я буду ориентироваться преимущественно на достижения отечественных математических школ. Итак, далее будет представлен краткий обзор отечественных работ по топологии. Рассмотрены лишь первоначальные научные результаты и основные направления.

Несколько слов о форме подачи материала. Хотя данную работу нужно относить к разряду историко-математических очерков, всё же основное внимание уделено не истории, а математике: здесь присутствуют определения, формулировки теорем и прочие конкретные результаты теории. Хронологический принцип изложения событий здесь соблюдён не всегда, материал более тематически привязан к истории развития отдельных отраслей, понятий этой довольно обширной теории.

Топология. Исторический очерк

Общая топология – это область математики, в которой изучаются общие геометрические свойства, сохраняющиеся при непрерывных и взаимно однозначных отображениях. Аксиоматически определяемыми объектами изучения общей топологии являются пространства и их непрерывные отображения. Под топологическим пространством понимается множество объектов произвольной природы, называемых точками, в котором выделена некоторая система подмножеств, называемых открытыми множествами пространства. Эта система должна включать в себя всё пространство и пустое множество и содержать в себе вместе с любыми двумя множествами их пересечение и вместе с любым набором множеств множество, которое является их объединением.

Итак, топологическое пространство определяется через систему открытых множеств посредством аксиом. Естественно, само это понятие базируется на предварительных общих понятиях "пространство" и "открытое множество".

В современной математике пространство определяют как некоторое абстрактное множество произвольных объектов, для которых задана определённая операция, осуществляющая известное отношение между элементами пространства. Базой для построения теории того или иного абстрактного пространства является, с одной стороны, общематематическое понятие множества, под которым понимается произвольная совокупность любых объектов (элементов), а с другой, – установленные определённым образом структурные отношения между этими объектами.

Определение. Пусть X – некоторое множество – пространство-носитель. Топологией в X называется любая система τ его подмножеств G, удовлетворяющая двум требованиям:

1°. Само множество X и пустое множество принадлежат τ.

2°. Сумма любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из τ принадлежат τ.

Множество X с заданной в нём топологией τ, т. е. пара (X, τ), называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе τ, называются открытыми.

Топологическое пространство есть совокупность множества точек и введённой в нём топологии. Таким образом, задать топологическое пространство – это значит задать некоторое множество X и задать в нём топологию τ, т.е. указать те подмножества, которые считаются в X открытыми.

Потребность в развитии общего подхода к понятию пространства возникла довольно давно – в конце прошлого и начале нынешнего столетия. В связи с развитием теории функций действительного переменного и функционального анализа возникли и другие объекты – функциональные пространства и их подмножества, – для исследования которых также требуются понятия и методы общей топологии.

В настоящее время топологические методы исследования применяются не только в анализе, но и во многих других отраслях математики. Значительной является роль топологических методов в дифференциальных уравнениях. В результате синтеза идей общей топологии и функционального анализа возникла теория топологических векторных пространств. Абстрактные топологические пространства неожиданным образом могут возникать и применяться в самых различных областях математики.

Общепринятое ныне понятие топологического пространства возникло не сразу. Появившиеся ранее метрические пространства, которые и по сей день являются важным предметом изучения общей топологии, не могли удовлетворить математиков.

Первые достаточно общие определения топологического пространства даны в работах Фреше, Рисса и Хаусдорфа. Окончательно определение топологического пространства было сформулировано польским математиком К.Куратовским и П.С.Александровым.

Приведём для полноты изложения эти определения в авторской редакции.

Куратовский: Топологическое пространство – это множество 1 (элементы которого называются точками) и функция (называемая замыканием), ставящая в соответствие каждому множеству X 1 множество 1 и удовлетворяющая следующим четырём аксиомам:

Аксиома 1. = ;

Аксиома 2. X ;

Аксиома 3. ;

Аксиома 4. = .

Александров: Под топологическим пространством понимается множество R элементов произвольной природы (называемых точками топологического пространства R), в котором выделены некоторые подмножества, называемые открытыми множествами пространства R, причём предполагается, что выполнены следующие аксиомы топологического пространства:

1. Всё множество R и пустое множество открыты.

2. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств открыты.

Как видим, К.Куратовский стоит на строго аксиоматическом подходе к определению топологического пространства; определение же Александрова практически ничем не отличается от общепринятого в настоящее время и сформулированного выше.

Работы советских математиков составляют глубокий и обширный вклад в развитие всей топологии в целом. Основополагающие труды П.С.Александрова и П.С.Урысона, относящиеся к началу 20-х годов, сыграли огромную роль в развитии топологии как в нашей стране, так и за рубежом. Под влиянием этих работ в нашей стране в 20-е годы сформировалась сильная топологическая школа. Весной 1924 г. в Московском университете П.С.Александровым и П.С.Урысоном был основан первый в СССР топологический семинар. В 20-30-е годы появились работы П.С.Александрова, А.Н.Тихонова, Л.С.Понтрягина, А.Н.Колмогорова и других советских математиков, которые оказали решающее влияние на развитие всей топологии. Исследования отечественных топологов последних десятилетий вызывают большой интерес у широкого круга специалистов и занимают достойное место во всей международной математической литературе.

Общую топологию можно разделить на четыре части: общая теория топологических пространств, непрерывные отображения пространств, теория размерности и теория равномерных пространств и бикомпактных расширений. Разумеется, это деление в значительной степени условно, а порой и совершенно искусственно, поскольку можно привести немало примеров таких результатов, которые с равным основанием можно было бы отнести сразу к нескольким из указанных разделов.

И вообще насчёт топологии можно заметить, что эта теория принадлежит к разряду таковых, относительно которых трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.