3. Теория размерности

Уяснение топологической природы числа измерений евклидова пространства явилось одним из важнейших событий во всей математике начала нынешнего столетия. На протяжении долгого времени не удавалось доказать, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны между собой. Интерес к этой задаче значительно возрос в конце прошлого столетия, когда было установлено, во-первых, что точки любых двух евклидовых пространств находятся во взаимно однозначном соответствии между собой (Кантор) и что, во-вторых, существуют непрерывные отображения, повышающие размерность (отображение Пеано отрезка на квадрат). Однако решение задачи стало возможным лишь после того, как было дано топологически инвариантное определение числа измерений.

Две независимые идеи топологического определения размерности высказали почти одновременно Лебег в 1911 г. и Пуанкаре в 1912 г. В 1913 г. Брауэр, основываясь на идее Пуанкаре, дал строгое, топологически инвариантное определение размерности, а также доказал, что для евклидовых пространств эта размерность совпадает с обычной. В своей работе Брауэр ограничился рассмотрением локально связных метризуемых пространств со счётной базой.

Заслуга окончательного построения теории размерности принадлежит П.С.Урысону. Независимо от него теория размерности была развита также Менгером. Однако Менгеру удалось получить далеко не все важные результаты, содержащиеся в работах Урысона. В 1921-1922 гг. Урысон дал усовершенствованное определение размерности Брауэра и доказал теоремы, которые, как теперь принято считать, составляют основное содержание теории размерности. В число этих теорем входят такие классические предложения, как теорема суммы, теорема о разложении конечномерного пространства на нульмерные множества, теорема о совпадении индуктивной размерности и размерности, определённой с помощью покрытий, а также целый ряд геометрических результатов.

Первоначально теория размерности была построена главным образом для компактных пространств. Затем Л.А.Тумаркин и другие исследователи все основные результаты теории размерности распространили на произвольные метризуемые пространства счётного веса. Постепенно область построения теории размерности расширялась, включая в себя сначала бикомпакты, а затем и все нормальные пространства.

4. Равномерные пространства и бикомпактные расширения

Бикомпактные расширения. Выше отмечалось (см. п. 1), что наиболее естественным классом пространств, для которых можно строить бикомпактные расширения, является класс вполне регулярных пространств, введённых А.Н.Тихоновым. Тихонов не только показал, что всякое вполне регулярное пространство обладает бикомпактными расширениями, но и предложил один из способов построения таких расширений. Метод Тихонова показывает, в частности, что одно и то же фиксированное пространство обладает, вообще говоря, большим запасом бикомактных расширений.

Если в конструкции Тихонова, отвлекаясь от топологического веса пространства, взять все непрерывные на X ограниченные функции, то получится расширение, широко известное под названием чеховского. Оно было построено Чехом и Стоуном. Чеховское расширение βX обладает целым рядом примечательных свойств, многие из которых его вполне характеризуют. Важнейшим из них является следующее: любое бикомпактное расширение Y пространства X имеет естественное отображение βX Y, тождественное в точках пространства X. Расширение βX является единственным максимальным бикомпактным расширением пространства X.

Другой способ построения бикомпактных расширений предложил в 1939 г. П.С.Александров. В его конструкции точки расширения – это некоторые центрированные системы открытых множеств исходного пространства, которые он называет "концами". И хотя своим методом Александров строит только расширение βX, его подход оказывается в известном смысле универсальным. С.В.Фомин и Фрейденталь применили метод концов для построения других бикомпактных расширений. В 50-х годах Ю.М.Смирнов, опираясь на понятие пространства близости, показал, что метод концов применим для построения всех бикомпактных расширений вполне регулярных пространств.

Пространства близости. Как отмечалось выше, одним из преимуществ общего определения топологического пространства является то, что оно позволяет в инвариантной (не зависящей от метрики) форме изучать топологические (т. е. сохраняющиеся при гомеоморфных преобразованиях) свойства метрических пространств. Естественно возникает задача выделения и такой структуры, которая позволила бы в инвариантной форме изучать свойства метрических пространств, сохраняющиеся при взаимно однозначных и в обе стороны равномерно непрерывных отображениях. Эта задача была решена В.А.Ефремовичем. Он ввёл (1935 г.) понятие пространства близости (или "инфинитезимального пространства").

На всяком пространстве близости может быть определена топология.

Отображение f:E E' пространств близости называется равномерно непрерывным, если оно переводит близкие множества в близкие (для метрических пространств, как показал В.А.Ефремович, это определение равномерной непрерывности совпадает с обычным); взаимно однозначное и в обе стороны равномерно непрерывное отображение называется эквиморфизмом. Два далёких множества в пространстве близости всегда можно отделить ограниченной равномерно непрерывной функцией.

В работах В.А.Ефремовича, А.С.Шварца и других математиков отыскиваются различные инварианты, с помощью которых можно отличать друг от друга неэквиморфные пространства.

Пространства близости и бикомпактные расширения. В.А.Ефремович заметил, что бикомпакт имеет лишь одно совместимое с его топологией отношение близости: два множества близки тогда и только тогда, когда их замыкания пересекаются. Таким образом, всякое бикомпактное расширение вполне регулярного пространства X определяет на этом пространстве некоторое отношение близости. Ю.М.Смирнов полностью выяснил связь между пространствами близости, определёнными на заданном вполне регулярном пространстве, и его бикомпактными расширениями.

Другой интересный подход к теории пространств близости недавно предложен М.Я.Антоновским, В.Г.Болтянским и Т.А.Сарымсаковым. Ими построена теория топологических полуполей и метризации над полуполями. С точки зрения этой теории всякое вполне регулярное пространство можно (вообще говоря, многими способами) метризовать со значениями в полуполях, причём всякое такое метрическое пространство порождает естественую близость. Для пространств, метризованых над полуполями, естественным образом строится теория пополнений.

Равномерные пространства и теория пополнений. Ю.М.Смирнов выясняет также связь между пространствами близостии равномерными пространствами по Вейлю.

Ю.М.Смирнов строит пополнения пространств близости и устанавливает их связь с пополнениями равномерных пространств по Вейлю. Для метрических пространств пополнение пространства близости совпадает с обычным. В частности, отсюда вытекает близостная инвариантность пополнения метрического пространства.