1.Введение.Топологическое пространство.

Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

Топологическое пространство — основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства мы можем рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.

Определение. Пусть дано множество X. Множество T его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:

- Все X и пустое множество принадлежат T,

- Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих Х,

принадлежит T,

- Пересечение двух множеств, принадлежащих Х, принадлежит T.

Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами.

Определение. Множество B открытых подмножеств топологического пространства (X, T) называется базой топологии T, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из B.

Итак, топологическое пространство определяется через систему открытых множеств посредством аксиом. Естественно, само это понятие базируется на предварительных общих понятиях «пространство» и «открытое множество».

В современной математике пространство определяют как некоторое абстрактное множество произвольных объектов, для которых задана определённая операция, осуществляющая известное отношение между элементами пространства. Базой для построения теории того или иного абстрактного пространства является, с одной стороны, общематематическое понятие множества, под которым понимается произвольная совокупность любых объектов (элементов), а с другой, - установленные определённым образом структурные отношения между этими объектами.

Пример. Вещественная прямая R является топологическим пространством, если назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных интервалов {(a, b) | a, b из R} является базой этой топологии.

Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной.

Непрерывные отображения. Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния.

Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f: (X,TX) > (Y,TY) называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Определение. Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.

Используя введенное определение окрестности, можно доказать

следующее свойство открытых множеств любого топологического пространства:

множество A открыто тогда и только тогда, когда каждая точка x из A имеет

окрестность, целиком входящую в A.

Определение. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества: Х = О₁  О₂.

Определение Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует. Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О₁ и О₂, не имеющих общих точек, то О₁ = CO₂ и O₂ = CO₁. Поэтому можно дать другое определение связного пространства: Определение. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.