2. Непрерывные отображения топологических пространств

Постановка задач. Непрерывные функции (т.е. непрерывные отображения пространства в действительную прямую) представляют собой сильное средство для исследования топологических пространств. Тем более это справедливо по отношению к отображениям исследуемого пространства в какое-нибудь другое, заранее выбранное ("тестовое") пространство. Например, в теории размерности (см. п. 3) важную роль играют отображения пространства в кубы Dⁿ или сферы Sⁿ любого числа измерений, а в алгебраической топологии широко используются отображения и в другие специальные полиэдры. Не меньшее значение имеет исследование отображений специальных пространств в рассматриваемое пространство (гомотопические группы).

В этой теории ставятся задачи такого типа. Пусть f: X Y – непрерывное отображение пространства X на Y. Предположим, что нам известна некоторая информация о топологическом пространстве X и об отображении f. Что можно сказать при этих условиях о топологическом пространстве Y? Аналогично, какую информацию можно получить о пространстве X, используя какие-нибудь данные об отображении f и о пространстве Y? Наконец, возможна и такая постановка вопроса (особенно это интересно в некоторых задачах теории размерности): какие дополнительные данные можно получить об отображении f, зная некоторые исходные данные об этом отображении и о пространствах X и Y?

Основные типы отображений. Перечислим несколько важных типов отображений, фигурирующих в указанных выше задачах.

Замкнутые отображения: образ всякого замкнутого в X множества замкнут в Y. Особенно большой интерес они представляют для метрических пространств.

Открытые отображения: образ всякого открытого в X множества открыт в Y.

Бикомпактные отображения: полный прообраз всякой точки бикомпактен.

Совершенные отображения: одновременно замкнутые и бикомпактные. Этот класс отображений является в настоящее время, по-видимому, одним из наиболее употребительных.

Уплотнения: взаимно однозначные непрерывные отображения. Первые общие результаты об уплотнениях были получены А.С.Пархоменко. В последнее время они рассматривались В.Произволовым.

Неприводимые, нульмерные и монотонные отображения.

Замкнутые отображения. Систематическое исследование замкнутых отображений было начато И.А.Вайнштейном. Им выяснена и связь замкнутых отображений с другими классами отображений.

Дальнейшее развитие теория замкнутых отображений получила в работах Морита, Стоуна, Хенриксена, Избелла и других зарубежных математиков. В последнее время замкнутые отображения при минимальных ограничениях на отображаемые пространства рассматривались А.В.Архангельским.

Совершенные отображения. Класс совершенных отображений был выделен И.А.Вайнштейном.

Дальнейшие результаты в этом направлении получены В.И.Пономарёвым, показавшим, что при совершенных отображениях сохраняются такие свойства, как паракомпактность, счётная паракомпактность, локальная бикомпактность, полнота в смысле Чеха и другие, в то время как сильная паракомпактность сохраняется лишь при окрытых совершенных отображениях.

Открытые отображения. Как и в случае замкнутых отображений, наибольший интерес представляют открытые отображения метризуемых пространств. В.И.Пономарёв доказал, что паракомпактное пространство, являющееся образом метризуемого пространства при открытом бикомпактном отображении, само метризуемо (известно, что открытый образ метризуемого пространства не всегда метризуем). А.В.Архангельский усилил этот результат.

Другие типы отображений. Кроме перечисленных выше существует ряд других классов отображений. Несколько из них выделены в последнее время А.В.Архангельским. Это факторные, псевдооткрытые, индуктивно открытые и другие отображения. Архангельский применил эти отображения для изучения образов метрических пространств, а также для представления пространств (метризуемых, паракомпактных, бикомпактных) в качестве образов соответствующих нульмерных пространств.

Многозначные отображения. В.И.Пономарёв построил теорию многозначных непрерывных отображений топологических пространств. При многозначном отображении точке пространства X ставится в соответствие не точка, а замкнутое множество пространства Y. Непрерывные многозначные отображения рассматривались Гуревичем ещё в 1926 г.

Многозначные отображения, в силу из симметрии, оказываются удобными для использования в различных задачах о сохранении свойств топологических пространств при тех или иных типах непрерывных отображений. Для многозначных отображений В.И.Пономарёв даёт определения замкнутого, открытого, бикомпактного, совершенного и других типов отображений. Им получены результаты о связях между различными классами топологических пространств, осуществляемых с помощью этих отображений.