Вопросы для повторения

1. Чему равно расстояние между точками –1 и 1 числовой прямой R ?

2. Чему равно расстояние между точками –1 и 1 числовой евклидовой прямой?

3. Чему равно расстояние между точками –1 и 1 числовой дискретной прямой?

4. Пусть M – множество всех иррациональных точек, заключенных между точками –1 и 1 на числовой прямой R.

А) Чему равно расстояние от точки 0 до множества M ?

Б) Чему равно расстояние от точки 0 до множества M на числовой евклидовой прямой?

В) Чему равно расстояние от точки 0 до множества M на числовой дискретной прямой?

Г) Чему равен диаметр множества M ?

Д) Чему равен диаметр множества M на числовой евклидовой прямой?

Е) Чему равен диаметр множества M на числовой дискретной прямой?

5. Является ли промежуток ]0; 1] числовой прямой открытым множеством? Является ли этот промежуток открытым на числовой евклидовой прямой? Будет ли этот же промежуток открытым или замкнутым на дискретной числовой прямой?

6. Если расстояние от точки до множества равно 0, то можно ли утверждать, что точка принадлежит этому множеству?

Задания

1. Какое из следующих равенств определяет метрику ?

1)

2) .

3)

4)

5) .

6)

7)

8)

9) .

2. Какое из следующих равенств определяет метрику ?

1)

2) .

3) .

4)

5) .

6) .

7) .

3. Какое из следующих равенств определяет метрику ?

1)

2)

3) .

4) .

4. Какое из следующих равенств определяет метрику d на множестве всех характеристических функций подмножеств множества?

1) .

2) .

3) .

4) .

5. Какое из следующих равенств определяет метрику d на множестве всех последовательностей натуральных чисел?

1) .

2)

3) .

4) .

6. Какое из следующих равенств определяет метрику d на множестве всех непрерывных функций, заданных на отрезке?

1) .

2)

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9)

10) .

11) .

12) .

13)

.

14)

.

15)

.

7. Какое из следующих условий необходимо, а какое − достаточно для того, чтобы отображение являлось метрикой на множестве?

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

19) .

20) .

21) .

22) .

8. Доказать, что расстояние между любыми двумя точкам метрического пространства неотрицательно.

9. Пусть отображение удовлетворяет следующим условиям:

1) тогда и только тогда, когда.

2) для любых.

Доказать, что − метрика на множестве.

10. Доказать, что -окрестности точекиметрического пространства имеют пустое пересечение, если расстояние между этими точками не меньше, чем. Можно ли утверждать, что пересечение этих окрестностей является непустым множеством, если расстояние междуибольше?

11. Может ли быть несчетным семейство открытых (соответственно, замкнутых) шаров, лежащих в счетном метрическом пространстве?

12. Доказать, что всякий открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством.

13. Доказать, что всякий замкнутый шар в метрическом пространстве (в частности, и одноточечное множество) является замкнутым множеством.

14. Доказать, что подмножество метрического пространствазамкнуто тогда и только тогда, когдадля любой точки.

15. Пусть ,− точки метрического пространства,. Доказать, что .

16. Показать, что если − подмножество метрического пространства, то − открытое множество, а− замкнутое множество, причем. В то же время множествоне обязательно совпадает си может не быть замкнутым даже тогда, когдазамкнуто.

17. Привести пример двух замкнутых непересекающихся подмножеств евклидовой прямой , расстояние между которыми равно 0. Доказать, что если расстояние между двумя замкнутыми непересекающимися подмножествами евклидова пространстваравно 0, то эти подмножества являются неограниченными.

18. Пусть – метрика на,− положительное число, и

, ,

,

для любых . Доказать, что,,и– метрики на, топологически эквивалентные метрике. При этоми– ограниченные метрики, а если− ограниченная метрика, тои– ограниченные метрики.

19. Пусть d – метрика на множестве X, – неубывающая действительная функция, которая определена на множестве неотрицательных вещественных чисел и удовлетворяет условиям:

а) тогда и только тогда, когда;

б) для всехи.

Доказать, что функция является метрикой на множестве; при этом если непрерывна, то метрики и топологически эквивалентны.

Получить отсюда результат задачи 17.

20. Пусть – ограниченное метрическое пространство,– семейство всех его замкнутых подмножеств. Расстояние между любымии, принадлежащими, определим равенством

.

Доказать, что – метрическое пространство.

Привести пример ограниченных топологически эквивалентных метрик и, для которых соответствующие метрикиина не являються топологически эквивалентными метриками.

21. Даны подмножества евклидовой прямой :

а) ; б) ; в) Z;

г) ;

д) .

Найти диаметры этих подмножеств. Какие из этих подмножеств открыты, а какие − замкнуты?

22. Даны подмножества евклидовой плоскости :

а) ; б);

в) ; г);

д) ;

е) ; ж);

3) ;

и) ;

к) .

Найти диаметры этих подмножеств. Какие из этих подмножеств открыты, а какие − замкнуты?

23. Даны следующие отображения:

,

,

,

,

,

,

, .

,

,

,

,

–отображение полуинтервалов с евклидовой метрикой на них, и

, где – подпространство евклидовой прямой, и

–отображение подпространства евклидовой прямойв подпространствоевклидовой плоскости, и

.

, где X – дискретная числовая прямая, и

, где X – дискретная числовая прямая и

Какие из этих отображений – биекции, и какие – гомеоморфизмы?

24. Доказать, что изометрия метрических пространств является гомеоморфизмом.

25. Какие из следующих свойств метрических пространств являются топологическими свойствами?

1. Конечность.

2. Ограниченность.

3. Бесконечность.

4. Неограниченность.

5. Ограниченность и бесконечность.

6. Свойство пространства быть объединением счетного семейства его ограниченных подмножеств.

7. Свойство пространства содержать счетное множество, расстояние до которого от любой точки пространства равно 0.

8. Свойство, заключающееся в том, что для каждой последовательности точек пространства в нем существует точка, любая шаровая окрестность которой содержит бесконечно много членов последовательности.

9. Полнота.

10. Полнота и ограниченность.

11. Свойство пространства иметь пополнение.

12. Свойство пространства быть полным и вполне ограниченным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Введение в топологию : учебн. пособие / Ю.Г. Борисович [и др.]. – М. : Наука, 1995. – 416 с.

1. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ : сб. задач / Н.И. Кованцов [и др.]. – К. : Выща шк., 1989. – 398 с.

2. Келли Дж.Л. Общая топология / Дж.Л. Келли. – М. : Наука, 1981. – 432 с.

3. Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии : учебн. пособие / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. – СПб. : Лань, 2009. – 480 с.

4. Скворцов В.А. Примеры метрических пространств / В.А.Скворцов. – М. : МЦНМО, 2002. – 24 с.

5. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории / Р.Р. Столл. – М. : Просвещение, 1968. – 231 с.

6. Топология : учебн. пособие / С.Г. Кононов [и др.]. ; под общ. ред. А.С. Феденко – Минск: Выш. шк., 1990. – 318 с.

Методические указания к практическим занятиям по курсу

«Дифференциальная геометрия и топология»

раздел «Топология»

для студентов 3 курса дневной формы обучения

направления подготовки 6.040201 «математика»

образовательно-квалификационного уровня «бакалавр»

отрасли знаний 0402 «физико-математические науки»

Составитель: Криворучко Александр Иванович

Рецензент: М.А.Муратов

Редактор: Н. А. Василенко

_________________________________________________________

Подписано к печати 20.10.10. Формат 60x84/16. Бумага тип. ОП.

Объем 1,5 п. л. Тираж - 50. Заказ -

_________________________________________________________