Вопросы для повторения

1. Может ли элемент некоторого множества не быть множеством?

2. Что такое семейство множеств? Всякое ли семейство множеств является множеством? Всякое ли множество является семейством множеств?

3. Даны множества A и B. По условию, каждый элемент множества A является элементом множества B, а каждый элемент множества B является элементом множества A. На вопрос о возможности утверждать, что A = B, предлагаются ответы: а) можно (по определению равенства двух множеств); б) можно (по условию); в) можно (по соответствующим аксиомам теории множеств). Какой из этих ответов Вы беретесь обосновать?

4. Даны множества A и B. По условию, каждый элемент множества A является элементом множества B. На вопрос о возможности утверждать, что A B, предлагаются ответы: а) можно (по определению); б) можно (по условию); в) можно (по соответствующим аксиомам теории множеств). Какой из этих ответов Вы беретесь обосновать?

5. Существует ли конечное множество, все элементы которого являются его подмножествами? Существует ли бесконечное множество, все элементы которого являются его подмножествами?

6. Существует ли множество, все подмножества которого являются его элементами?

7. Существует ли множество, одним из элементов которого является оно само?

8. Что называется объединением семейства множеств? Верно ли, что ? Что называется пересечением семейства множеств? Верно ли, что? Из каких элементов состоят множества {2}{3}, 23, 2, {2}, {2}{3}, 23, 2, {2}?

9. Что называется разностью двух множеств?

10. Что такое упорядоченная пара? В каких случаях ?

11. Что называется произведением двух множеств? Верно ли, что ?

12. Может ли центрированное семейство множеств иметь пустое пересечение?

13. Всякое ли семейство множеств является покрытием?

Задания

1. Какие из следующих утверждений справедливы?

1) . 2). 3) . 4) .

2. Доказать, что тогда и только тогда, когда и.

3. Какие из следующих соотношений выполняются для каждого множества ?

1) . 2). 3).

4) . 5). 6).

7) . 8). 9).

10) . 11) . 12).

13) . 14). 15).

16) . 17) .

4. Какое из следующих утверждений справедливо для любых множеств A и B ?

1) . 2).

3) . 4).

5) . 6).

7) . 8).

9) .

5. Какое из следующих утверждений справедливо для любых множеств A, B, C ?

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

6. С каким из следующих множеств при любых трех множествах A, B, C совпадает множество ?

1) . 2).

3) . 4).

7. С каким из следующих множеств совпадает множество для всякого множестваX и любых двух его подмножеств A и B ?

1) A, если . 2)X. 3) , если. 4).

8. Верны ли следующие равенства для любого множества A и любого семейства множеств S ?

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

9. Даны следующие семейства подмножеств числовой прямой R:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

Какое из этих семейств

а) является центрированным? б) дизъюнктно? в) является разбиением прямой R ? г) имеет пустое пересечение?