МИНИСТЕРСТО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В. И. ВЕРНАДСКОГО

Кафедра дифференциальных уравнений и геометрии

А. И. Криворучко

Методические указания к практическим занятиям

по курсу «Дифференциальная геометрии и топология»

раздел «Топология»

для студентов 3 курса

дневной формы обучения

направления подготовки 6.040201 «математика»

образовательно-квалификационного уровня «бакалавр»

отрасли знаний 0402 «физико-математические науки»

Часть 2.

Топологические пространства

и непрерывные отображения

Симферополь 2011

Рекомендовано заседанием

кафедры дифференциальных уравнений и геометрии от

05. 10. 11, протокол № 2.

Рекомендовано к печати научно-методическим советом от

06. 10. 11, протокол № 1.

Практические занятия по топологии являются существенной частью самостоятельной работы студентов при изучении курса «Дифференциальная геометрия и топология». На практических занятиях студенты закрепляет теоретический материал путем решения задач и участвуя в обсуждении отдельных вопросов. В ходе занятий студенты имеют возможность знакомиться с новыми методами решения задач, обращаясь при этом за консультацией к преподавателю.

В предлагаемых методических указаниях выделяются наиболее важные вопросы, относящиеся к началам теории топологических пространств и непрерывных отображений, которые необходимы при изучении раздела «Топология» и некоторых тем раздела «Дифференциальная геометрия». По рассматриваемым в методических указаниях темам приводятся основные определения и теоремы, а также вопросы для повторения теории и задачи для самостоятельного решения. Ряд задач предлагается в виде тестов, которые могут использоваться для осуществления текущего контроля знаний студентов.

5. Топологические пространства

Содержание: Определение топологического пространства. Открытые множества, замкнутые множества, окрестности, замыкание множества, внутренние, граничные и внешние точки, всюду плотные множества, предел последовательности точек.

Необходимо научиться проверять аксиомы топологии, строить топологические пространства, пользоваться критериями открытости множества, строить замыкания множества, его границу, находить пределы последовательностей точек.

Основные определения

1^о. Пусть X – некоторое множество, . Семейство называетсятопологией на множестве X, если выполняются следующие условия (аксиомы топологии):

а) ;

б) ;

в) .

Если − топология на множестве X, то называется топологическим пространством. Элементы множества X называются точками, а подмножества множества X – множествами (или подмножествами) пространства . Множества, принадлежащие топологии , называются открытыми множествами пространства .

Топологическое пространство , если это не приводит к недоразумениям, называем пространством и обозначаем символом X, не указывая при этом заданную на X топологию .

2^о. Отображение пространства в пространство – это отображение . Гомеоморфизм (или топологическое отображение) пространства на пространство – это биекция , сохраняющая открытые множества, т.е. удовлетворяющая условию

.

Гомеоморфизм пространства на называется топологическим преобразованием пространства .

Если существует гомеоморфизм пространства на пространство , то говорят, что гомеоморфно , и называют и гомеоморфными пространствами.

Топологические свойства пространств – это свойства пространств, сохраняющиеся при гомеоморфизмах.

3^о. Пусть – метрика на множествеX. Семейство всех открытых множеств метрического пространства– топология на множествеX. Говорят, что топология порождена метрикой .

Всякое метрическое пространство рассматривается вместе с топологией, порождаемой метрикой этого пространства. Это позволяет говорить о топологических свойствах метрических пространств.

Дискретная метрика на множестве порождает дискретную топологию, а евклидова метрика на подмножестве евклидова пространства Rⁿ – евклидову топологию этого подмножества.

Если топология пространства X порождается некоторой метрикой, то X называется метризуемым пространством.

4^о. Пусть X – топологическое пространство, ,.

Открытой окрестностью множества A называется открытое в X множество, содержащее A;

окрестностью множества A называется множество, содержащее открытую окрестность множества A;

окрестность точки a – это окрестность одноточечного множества {a}.

Множество A называется замкнутым, если открыто.

Замыкание множества A в X – это пересечение всех замкнутых в X множеств, содержащих .Используемые обозначения замыкания множества A: ,.

Точку a называют точкой прикосновения множества A, или точкой, бесконечно близкой к A, если любая окрестность точки a имеет непустое пересечение с множеством A.

Множество A называется всюду плотным (или плотным в X), если .

Объединение всех открытых множеств, содержащихся в A, называется внутренностью множества A. Используемые обозначения внутренности множества A: ,.

Точки, принадлежащие , называютсявнутренними точками множества A (и внешними точками множества X \ A).

Граница множестваA – это множество . Точки, принадлежащие, называютсяграничными точками множества A.

Точка a называется предельной точкой множества A, если в каждой окрестности точки a содержится хотя бы одна точка множества A \ {a}.

Точка множества A, не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества A.

Последовательность точек пространстваX сходится к точке a, если каждая окрестность точки a содержит почти все члены этой последовательности. В этом случае a называют пределом последовательности и пишут:

.

Если a – единственная точка, к которой сходится последовательность , то обычно пишут:

.

Точка a называется предельной точкой последовательности , если каждая окрестность точкиa содержит бесконечно много членов этой последовательности.