3. Мощность множества
Содержание: Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность множества. Элементы кардинальной арифметики.
Необходимо научиться сравнивать мощности множеств, доказывать простейшие теоремы кардинальной арифметики.
Некоторые определения, обозначения и теоремы
Множество A называется равномощным множеству B, если существует взаимно однозначное отображение множества A на множество B. Равенство |A| = |B| означает, что множество A равномощно множеству B.
Равномощность является отношением эквивалентности на классе всех множеств, и это позволяет определить понятие мощности множества.
Отношение |A| ≤ |B| означает, что множество A равномощно подмножеству множества B.
|A| < |B| означает следующее: |A| ≤ |B|, но при этом неверно, что |B| ≤ |A|.
Из аксиомы выбора следует, что в любом (конечном или бесконечном) семействе попарно неравномощных множеств содержится множество наименьшей мощности.
Равенство |A|
=
означает, чтоA
– счетное множество, т.е. что |A|
= |N|.
Множество X
называется несчетным, если |N|
< |X|.
Равенство |Y|
=
означает, что множествоY
имеет
мощность континуума, т.е. что |Y|
= |R|.
Теорема 1.
Если множество X
бесконечно,
то
.
Теорема 2. Для каждого множество A, конечного или бесконечного, |A| < |B(A)| .
Вопросы для повторения
1. Какие множества называются равномощными?
2. Пусть А
и В
– конечные множества, |A|
= n,
|B|
= m.
Чему равны мощности множеств A
B,
A
B,
B(A),
AВ
? Чему
равна мощность множества всех инъективных
отображений множества B
в множество A?
Чему равна мощность множества всех
подмножеств множества A,
которые равномощны множеству B
?
3. Какие множества называются счетными? Приведите примеры счетных множеств.
4. Какие множества называются множествами мощности континуума? Приведите примеры множеств мощности континуума.
5. Существует ли несчетное подмножество числовой прямой R, не равномощное R?
Задания
1.
Доказать, что для любых множеств A
и B
если
и
,
то |A|
= |B|.
2.
Доказать, что если A
– бесконечное
множество, то оно равномощно множеству
.
3. Доказать, что объединение счетного семейства счетных множеств счетно. Будет ли счетным произведение счетного семейства счетных множеств?
4. Доказать, что объединение индексированного семейства множеств, имеющих мощность континуума, также имеет мощность континуума, если множество индексов этого семейства имеет мощность, не большую мощности континуума.
5. Даны следующие множества:
1) Q.
2) Q \ N.
3) Q
.
4) B(N).
5) {R} × N.
6) B(R)
× {
}.
7) B(R) × N.
8) Q × [–1; 1].
9) Q × {[–1; 1]}.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
14) B(R2).
15)
.
16) B(
)
×N.
17) Множество всех отрезков числовой прямой R, имеющих рациональные концы.
18) Множество всех окружностей, лежащих на евклидовой плоскости.
19) Множество C[a, b] всех непрерывных числовых функций, определенных на отрезке [a, b].
Какие их этих множеств не более чем счетны, а какие имеют мощность континуума?
6. Какие из следующих соотношений справедливы?
1) |N| < |Q|.
2) |Q| < |R \ Q|.
3) |Q \ Z| < |Q|.
4) |Q| = |R \ Q|.
5) |N| < |N × N|.
6) |Q × Q| ≤ |N|.
7) |Q| ≤ |N × N |.
8) |Q × Q| ≤ |Q|.
9) |N| < |Q × Q|.
10) |R| < |R × R|.
11) |B(Q)| < |R|.
12) |R| ≤ |B(N)|.
13) |R × R| = |B(N)|.
14) |B(R)| ≤ |R × R|.
15) |B(Q)| < |R × R|.