4. Метрические пространства

Содержание: Определение метрического пространства, примеры. Расстояние между множествами в метрическом пространстве. Открытые множества.

Необходимо научиться проверять аксиомы метрики, вычислять расстояния между множествами, доказывать и использовать свойства открытых множеств.

Некоторые определения, обозначения и теоремы

Метрикой, заданной на множестве , называется отображение, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам метрики):

1) для любых x и y, принадлежащих M,

тогда и только тогда, когда ;

2) для любых x и y, принадлежащих M,

;

3) для любых x, y и z, принадлежащих M,

.

Множество с заданной на нём метрикой, т.е. упорядоченную пару, называютметрическим пространством. Элементы множества называютточками, а подмножества множества –множествами (или подмножествами) пространства . Еслиx, y − точки пространства , то числоназываютрасстоянием от x до y.

Примеры метрических пространств: -мерное арифметическое евклидово пространство;-мерное проективное пространствос эллиптической метрикой на нем (которая индуцирована евклидовой метрикой пространства); пространствовсех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке, с метрикой равномерной сходимости; гильбертово пространство; дискретное метрическое пространство.

Пусть − метрическое пространство,,,,. Положим

,

, ,

, ,

.

−это расстояние между множествами и,

−расстояние от точки до;

если , то−-окрестность множества ,

−-окрестность точки , илиоткрытый шар с центром и радиусом ;

если , то−замкнутый шар с центром и радиусом ;

−диаметр множества .

Если диаметр множества конечен, то множество называется ограниченным. Метрическое пространство называется ограниченным, если ограниченно множество всех его точек.

Если – метрическое пространство и, то для любых двух точекмножестваполагая, получаем метрикуна множестве. Метрическое пространствоназываютподпространством пространства . При этом каждое множество, лежащее в метрическом пространстве, если не оговорено противное, рассматривается как подпространство этого метрического пространства.

Отображение метрического пространства в метрическое пространство – это отображение множества X во множество .

Отображение метрического пространствав метрическое пространствоназываетсяизометрией, если взаимно однозначно отображаетX на и при этом для любыхx и y, принадлежащих X,

.

Два метрических пространства называются изометричными, если между ними существует изометрия.

Метрические свойства – это свойства метрических пространств, сохраняющиеся при изометриях.

Пусть – множество точек метрического пространства.называетсяоткрытым, если для любой точки множестванайдется положительное число, для которого.называетсязамкнутым, если множество открыто. Очевидно, что пустое множество и открыто, и замкнуто в.

Теорема. Для любого семейства открытых множествметрического пространства множество является открытым, а если – непустое конечное семейство открытых множеств, то и открыто.

Метрики ина множественазываются топологически эквивалентными, если семейство всех открытых подмножеств пространствасовпадает с семейством всех открытых подмножеств пространства.

Взаимно однозначное отображение метрического пространствана метрическое пространствоназываетсягомеоморфизмом, если сохраняет открытые множества, т.е. если выполняется следующее условие: подмножествоV метрического пространства открыто в этом пространстве тогда и только тогда, когдаоткрыто в.

Топологические свойства метрических пространств – это свойства метрических пространств, сохраняющиеся при гомеоморфизмах.