Вопросы для повторения
1. Что называется бинарным отношением?
2. Что такое отношение эквивалентности?
3. Какое отношение
называется отношением порядка? Является
ли отношение
строгого включения подмножеств некоторого
множестваХ
отношением порядка на булеане множества
Х ?
4. Что такое отображение?
5. Пусть f
– отображение некоторого множества
Х.
Можно ли утверждать, что а)
?
б)
?
6. При каких условиях для данного отображения определено обратное отображение? При каких условиях для двух данных отображений определена их композиция?
7. Что такое индексированное семейство?
8. Сформулируйте аксиому выбора. Какие утверждения, эквивалентные аксиоме выбора, Вы знаете?
9. Что называется произведением семейства множеств? Из каких элементов состоит произведение последовательности множеств?
10. Существует ли на евклидовой плоскости множество, пересекающее каждую прямую, лежащую на этой плоскости, по двухточечному множеству?
Задания
1. На множестве Z всех целых чисел заданы следующие отношения:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
Какие из этих отношений
а) рефлексивны? б) транзитивны? в) симметричны? г) антисимметричны? д) являются отношениями линейного порядка?
Что можно утверждать о свойствах этих отношений на множестве N всех натуральных чисел?
2.
На множестве
заданы следующие отношения:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
Какие из этих отношений
а) рефлексивны? б) транзитивны? в) антисимметричны?
3. На множестве RN всех числовых последовательностей заданы следующие отношения:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
Какие из этих отношений
а) антисимметричны? б) транзитивны? в) являются отношениями линейного порядка?
4.
Если
– отношение на множестве всех
неотрицательных вещественных чисел,
то его график – некоторое множество
точек первого квадранта координатной
плоскости. Какова характеристическая
особенность этого графика, если
а)
рефлексивно? б)
симметрично? в)
транзитивно?
5.
На множестве R
бинарное отношение
задано следующим образом:
.
Доказать, что
рефлексивно и транзитивно, но не
антисимметрично.
6. Приведите примеры:
а) рефлексивного и симметричного, но не транзитивного отношения;
б) рефлексивного и транзитивного, но не симметричного отношения;
в) симметричного и транзитивного, но не рефлексивного отношения.
7.
Пусть
− рефлексивное и транзитивное отношение
на множествеA.
Определим отношение
,
полагая
,
если
и
.
(а)
Докажите, что
есть отношение эквивалентности на
множествеA.
(б) Докажите, что
если
,
и
,
то
.
Выведите отсюда, что на фактор-множестве
можно определить новое отношение
,
полагая
,
если
.
Докажите рефлексивность, транзитивность
и антисимметричность отношения
.
8. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на соответствующем множестве:
1) Равенство на произвольном семействе множеств.
2) Отношение подобия на множестве всех треугольников в евклидовой плоскости.
3) Отношение
сравнимости по модулю на множестве
,
определяемого для любого не равного
нулю целого числа
следующим образом:
сравнимо с
по модулю
,
если
делится на
;
обозначение этого отношения:
.
4) Отношение параллельности на множестве прямых аффинной плоскости (рассмотреть как случай, когда совпадающие прямые считаются параллельными, так и случай, когда по определению параллельные прямые не имеют точек пересечения).
5) Отношение равночисленности в произвольном семействе конечных множеств.
9.
Пусть
и
– отношения эквивалентности. Докажите,
что
также являются отношением эквивалентности.
10. Найдите область определения и область значений, а также постройте графики следующих отношений:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
11. Дано разбиение {{1, 3, 4}, {2, 7}, {5, 6}} множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Постройте график отношения эквивалентности, соответствующего этому разбиению.
12.
Отображение
задано равенством
Какие из приведённых ниже соответствий справедливы?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
13.
Отображение
задано равенством
Какие из соотношений, приведённых ниже, имеют место?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
14.
Отображение
задано равенством
Какие из приведённых ниже соотношений справедливы?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
15.
Отображение
задано равенством
Какие из следующих утверждений справедливы?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
16.
Какие из следующих соотношений
справедливы для всякого отображения
и любых подмножеств
и
множества
?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
17.
Какие соотношения справедливы для
всякого отображения
и любых подмножеств
и
множества
?
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
18.
Какие утверждения справедливы для
всякого отображения
и любых
и
?
1) Если
– покрытие множества
,
то
– покрытие множества
.
2) Если
– центрированное семейство множеств,
то и семейство
является центрированным.
3) Если
– покрытие множества
,
то
– покрытие множества
.
4) Если
– центрированное семейство множеств,
то и семейство
является центрированным.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
19. Установите биекцию между
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.