МИНИСТЕРСТО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В. И. ВЕРНАДСКОГО

Кафедра геометрии

А. И. Криворучко

Методические указания к практическим занятиям

по курсу «Дифференциальная геометрии и топология»

раздел «Топология»

для студентов 3 курса

дневной формы обучения

направления подготовки 6.040201 «математика»

образовательно-квалификационного уровня «бакалавр»

отрасли знаний 0402 «физико-математические науки»

Часть 1.

Множества. Метрические пространства

Симферополь 2011

Рекомендовано заседанием кафедры геометрии

от 17. 06. 10, протокол №9.

Рекомендовано к печати научно-методическим советом от 07. 10. 10, протокол №1.

Практические занятия являются существенной частью в самостоятельной работе студентов по изучению «Дифференциальной геометрии и топологи». На практических занятиях студент закрепляет теоретический материал путем решения задач и участвуя в дискуссиях по отдельным темам. В ходе занятий студенты имеют возможность знакомиться с новыми методами решения задач, обращаясь при этом к преподавателю за консультацией и обсуждая возникающие вопросы с товарищами.

В предлагаемых методических указаниях выделяются наиболее принципиальные вопросы, относящиеся к началам теории множеств и теории метрических пространств, которые необходимы при изучении раздела «Топология» курса «Дифференциальная геометрия и топология». При этом по каждой рассматриваемой теме приводятся основные определения и теоремы, а также вопросы для повторения теории и задачи для самостоятельного решения. Ряд задач предлагается в виде тестов, которые могут использоваться для осуществления текущего контроля знаний студентов.

1. Множества и операции над ними

Содержание: Способы задания множеств. Операции объединения, пересечения, разности и произведения множеств.

Необходимо научиться задавать множества, доказывать их равенства и соотношения между множествами, полученными в результате применения простейших теоретико-множественных операций.

Некоторые определения и обозначения

Множество и отношение принадлежности (обозначаемое символом ) – основные понятия теории множеств, описываемые соответствующей системой аксиом (при этом множество интуитивно понимается как совокупность некоторых элементов, обладающих одинаковыми признаками и свойствами). Соотношение означает, что множествоx принадлежит множеству A (т.е. x − элемент множества A ).

Задать множество можно перечислением его элементов или соответствующим описанием свойств элементов этого множества. Например,

, ,.

Символ обозначает пустое множество, т.е. множество, не содержащее никаких элементов. Отметим, что.

Множество обозначается символоми называется упорядоченной парой с первым элементом (первой координатой)A и вторым элементом (второй координатой) B.

По определению, упорядоченная тройка (A, B, C) − это множество ((A, B), C), упорядоченная четверка (A, B, C, D) − это множество ((A, B, C), D), и т.д.

означает, что множество A является подмножеством множества B (т.е. что каждый элемент множества A является элементом множества B ).

означает, что и при этом.

–булеан множества A, т.е. множество всех подмножеств множества A.

Когда нужно подчеркнуть, что множество S образовано подмножествами некоторого множества A (т.е. ), тоS называют семейством множеств (или семейством подмножеств множества A ), а подмножество множества S – подсемейством.

Пусть S − семейство множеств. Тогда иобозначают объединениевсех множеств, принадлежащихS; если же , тоиобозначают пересечениевсех множеств, принадлежащихS.

S называется дизъюнктным семейством множеств (и разбиением множества , когда), если пересечение любых двух различных множеств, принадлежащихS, пусто.

S называется центрированным, если пересечение любого конечного подсемейства семейства S не пусто.

S называется покрытием множества A, если .

Пусть A и B – множества. Тогда

или − объединениеA и B;

и − пересечениеA и B;

и − разностьA и B;

−произведение A и B.