Lektsii_Rubleva_1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-01 Метричн_ та нормован_ простори
.doc
|
Наслідок. |
Якщо
множина
|
обмежена, то
.
Відкритою
множиною
в метричному просторі
називається така множина
,
у якої
.
Околом
точки
називається будь-яка відкрита множина,
що містить
.
Далі аналогічно відповідним поняттям в упорядкованому просторі можна визначити – замкнену множину, граничну, межову, внутрішню та точку дотикання, а також внутрішність та замикання множини, та їм притаманні аналогічні властивості.
|
Теорема 8. |
(Принцип вкладених куль) |
|
|
Для
того, щоб простір
|
був повним, необхідно і достатньо, щоб
у ньому кожна послідовність вкладених
одна в одну замкнених куль, радіуси
яких прямують до нуля, мала непорожній
перетин.
Нижче багато тверджень у цьому розділі будуть повторювати вже відомі раніше та доведені у випадку дійсної осі. Дійсна вісь виступає тут як метричний чи ЛНП. Якщо доведення не містить принципово нових ідей чи підходів, то наводити його ми не будемо.
Множина
називається компактною
в метричному просторі
,
якщо будь-яка послідовність
елементів
містить збіжну підпослідовність. Якщо
їх границі належать множині
,
то вона називається компактною
в собі,
або компактом.
Подальші твердження наводяться для
метричних просторів, але аналогічно їх
можна переоформлювати також і для ЛНП.
Покриттям
деякої множини
називається така сукупність множин
,
що
.
|
Теорема 9. |
(Бореля-Лебега) |
|
|
Нехай
|
- замкнена множина в МП
.
Для того, щоб
була компактом, необхідно і достатньо,
щоб з будь-якого покриття її відкритими
множинами можна було виділити скінчене
підпокриття.
Нехай
,
метричні простори,
,
гранична
точка множини
.
Точка
називається границею
відображення
в точці
у розумінні Гейне,
якщо
:
і позначається символом
.
Відображення
неперервне
в точці
у
розумінні Гейне,
якщо
:
(Гейне).
Якщо відображення неперервне
,
то воно називається неперервним
(у
розумінні Гейне).
|
Теорема 10. |
(Неперервний образ компакту) |
|
|
Якщо
|
неперервне відображення і
- компакт, то і
теж компакт в
.
|
Теорема 11. |
(Неперервність композиції) |
|
|
Нехай
|
- МП,
,
,
.
Якщо
неперервна в точці
,
а
неперервна в точці
,
то
неперервна
в точці
.
|
Теорема 12. |
(Неперервність оберненого відображення) |
|
|
Нехай
|
МП,
,
-компакт.
Якщо
-
неперервне і оборотне, то
неперервне.
Нехай
- гранична точка множини
,
де
(
МП),
точка
називається границею
відображення
у точці
у
розумінні Коші,
якщо
,
:
.
|
Теорема 13. |
(Зв’язок означень границі за Коші та Гейне) |
|
|
Означення границі відображення за Коші та Гейне еквівалентні. |
Відображення
рівномірно
неперервне
на
,
якщо
:
.
|
Приклад 11. |
|
|
|
Якщо
ми доведемо нерівність
|
відображення
рівномірно неперервне.
,
то все буде доведено. без обмеження
загальності будемо вважати, що
,
тоді остання нерівність набуває
вигляду:
.
перепишемо її у вигляді:
.
З визначення відстані від точки до
множини
:
.
Виберемо довільне
,
тоді
,
з чого внаслідок довільності
слідує потрібна нерівність.