Lektsii_Rubleva_1 / Гл 02 Пох_дна / Пар 2-04 Теореми про середнє част-1
.doc
Глава 2
Похідна
4. Теореми про середнє
Функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо : . Якщо при цьому виконується нерівність , то максимум (мінімум) називається строгим, інакше – нестрогим. Локальні максимуми та мінімуми називаються екстремумами.
Теорема 1. |
(Ферма) |
|
Нехай і - внутрішня точка множини . Якщо функція набуває в точці найбільшого або найменшого значення і диференційована в ній, то . |
Доведення. З означення диференційованої функції в точці можемо записати рівність: , де - неперервна в точці . Припустимо, що , із властивості стійкості нерівності : - зберігає знак. Якщо - екстремальна точка ліва частина останньої нерівності в околі зберігає знак, а права частина змінює цей знак – суперечність .
Теорему доведено.
Теорема 2. |
(Ролля) |
|
Нехай , диференційована в кожній точці . Якщо , то : . |
Доведення. Якщо , то твердження очевидне. Якщо , то, за теоремою Вейєрштрасса, вона набуває найбільшого та найменшого значень на , які не співпадають. Одне з цих значень досягається в деякій середній точці , тоді, за теоремою Ферма, .
Теорему доведено.
Наслідок. |
(Узагальнення теореми Ролля). |
|
Нехай , диференційована в кожній точці . Якщо , то : . |
Доведення. Якщо , то знов все очевидно. Якщо , то достатньо розглянути функцію , де . Тоді і можна застосувати для теорему Ролля : .
Розглянемо випадок , . (Решта випадків – аналогічно). Так як : , припустимо, що . Розглянемо число , з того, що : , і : на і на : (за теоремою Коші) за теоремою Ролля для на : .
Теорему доведено.
Приклад 1. |
Якщо має похідну в кожній точці , , то рівняння має принаймні один розв’язок на . |
|
Розглянемо функцію . Тоді і вона задовольняє теорему Ролля : , з того, що : . |
Приклад 2. |
Якщо многочлен -го степеня не має комплексних коренів (тобто, з урахуванням кратності він має рівно дійсних коренів), то всі його похідні теж мають лише дійсні корені. |
|
Якщо - корінь кратності , то похідна має цей корінь кратності . Крім того, якщо - сусідні корені многочлена , то : . Тобто, якщо має різних коренів, то похідна має різний корінь. Залишилося обчислити кількість коренів похідної від многочлена , кількість коренів складає: . |
Теорема 3. |
(Дарбу) |
|
Якщо диференційована в кожній точці : , то : . |
Доведення. За теоремою Вейєрштрасса на набуває найбільшого та найменшого значень. Якщо принаймні одне з них досягається в точці , то, за теоремою Ферма, . Покажемо, що інше не можливо, тобто екстремуми не можуть досягатися на краях. Якщо припустити, що, , і умова не виконується.
Аналогічно, коли , .
Наслідок 1. |
(Про проміжні значення похідної). |
|
Якщо диференційована на , то її похідна набуває усіх проміжних значень між і . |
Доведення. Нехай довільне дійсне число між і . Розглянемо функцію : , тоді : .
Наслідок доведено.
Наслідок 2. |
(Про збереження знаку похідною). |
|
Якщо диференційована на і , то зберігає цілком певний знак на . |
Доведення. Якщо : : - суперечність.
Наслідок доведено.
Теорема 4. |
(Лагранжа) |
|
|
Нехай функція неперервна на , диференційована в кожній точці . Тоді : |
|
|
(1) |
Доведення. Нехай , тоді розглянемо функцію , . ;
за теоремою Ролля : .
Теорема доведена.
Запишемо цю формулу трохи інакше: зрозуміло, що ; тому можна покласти , . Тоді, якщо , і на цьому проміжку задовольняє умову теореми Лагранжа останню формулу можна записати у вигляді:
, , (2)
яка називається формулою скінчених приростів Лагранжа.
Приклад 3. |
Довести нерівність |
|
. |
Формулу (1) можна узагальнити таким чином:
.
Теорема 5. |
(Узагальнення теореми Лагранжа) |
|
Нехай функція неперервна на і має праву похідну у кожній точці , за винятком, можливо, деякої її зліченої підмножини . Якщо , то . |
Доведення. Нехай перенумеровані члени множини , при цьому, якщо , то . Зафіксуємо довільне , і розглянемо множину таких точок з , що виконується нерівність:
(3)
(Під слід розуміти просто суму, якщо кількість індексів , для яких скінчене, і , яка існує і скінчена, в наслідок того, що - не спадна і обмежена числом ). Очевидно, що . Покажемо, що до входять також і числа, більші за .
1) Якщо існує , то з диференційованості в точці маємо: : виконується і нерівність (3) для будь-якої точки проміжку .
2) Якщо , тобто не існує, то з неперервності в точці можемо записати: : , тому що . Таким чином точка .
Тобто множина містить і внутрішні точки сегменту , внаслідок обмеженості множини (точкою ) . Покажемо, що . З означення верхньої межі : з визначення множини . З неперервності на зробимо граничний перехід при
, (4)
звідки слідує, що .
Тепер покажемо, що .
1) Якщо і і , і виконується: . Додавши до останньої нерівності (4), одержимо: