Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пар 2-05 Правила Лоп_таля

.doc

Скачиваний:

140

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

357.89 Кб

Скачать

☆

Глава 2

Похідна

5. Правила Лопіталя

Теорема 1.	(Правило Лопіталя для невизначеностей типу , або перше правило Лопітиля )
	Нехай функції , де , задовольняють такі умови:
1)	;
2)	та ;
3)	;
4)	, то .

Доведення. Розглянемо розширення функції на півінтервал , доповнивши їх нулями в точці . Виберемо довільну : . З формули Коші для скінчених приростів (або з наслідків) : , бо і за означенням Гейне ми одержимо, що .

Теорему доведено.

Приклад 1.

;

Маємо невизначеність , виконуються усі вимоги теореми 1, а тому розглянемо відношення похідних:

наша границя теж дорівнює .

Зауважимо, що в зворотній бік теорема місця не має.

Приклад 2.

; , ; , .

Наслідок 1.	(Перше правило Лопіталя для -х похідних)
	Якщо для функцій , виконуються такі умови:
1)	;
2)	;
3)	, ;
4)	.

Доведення. Доведення полягає в використанні правила Лопіталя разів по черзі для пар функцій (,), (,),…,(, ).

Доведення завершене.

Наслідок 2.	(Перше правило Лопіталя на нескінченності)
	Якщо , , , і для цих функцій виконуються умови:
1)	;
2)	;
3)	, ;
4)	, тоді .

Доведення. Розглянемо функції , , . Тоді при . За умовою існує:

при .

Доведення завершене.

Приклад 3.

;

, зрозуміло, що , а тому далі достатньо лише знайти границю:

, знайдемо границю відношення похідних: .

Теорема 2.	(Правило Лопіталя для невизначеностей типу , або друге правило Лопіталя)
	Нехай задовольняють умовам:
1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Доведення. Нехай - довільна послідовність, що збігається до . Нехай - два елемента послідовності з достатньо великими номерами . З теореми Коші : . З умови при слідує, що .

При фіксованому ; , при достатньо малих , за означенням Гейне .

Теорема доведена.

Приклад 4.
	Маємо невизначеність , застосуємо друге правило Лопіталя: .

Наслідок 1.	(Друге правило Лопіталя для -х похідних)
	Якщо функції , і задовольняють умови :
1)	;
2)	, ;
3)	;
4)	.
Наслідок 2.	(Друге правило Лопіталя на нескінченності)
	Теорема залишається чинною, якщо .

Доведення цих наслідків проводиться аналогічно до доведення попередніх наслідків. Першій методом математичної індукції, а другий – заміною змінної.

Приклад 5.	Знайти .
	Використаємо правило Лопіталя разів, кожен раз маємо невизначеність : ; ; … , ; .