Приклад 1.

Розглянемо функції , , , - функція Діріхле. Дослідити їх на диференційованість в точці .

, - неперервна в функція - диференційована і ;

, - неперервна в точці .

Теорема 1.

(Обчислення похідної).

Нехай , і є граничною точкою цієї множини. Якщо диференційована в точці , то

(2)

Наслідок.

(Необхідна умова диференційованості).

Якщо функція диференційована в точці , граничній для множини , то вона неперервна в точці і її похідна визначена однозначно.

Приклад 2.

Знайти похідні в точці для функцій: , , ;

;

;

.

Теорема 2.

(Про похідну композиції)

Нехай функція диференційована в точці , а функція диференційована в точці . Якщо і - гранична точка множини , тоді композиція диференційована в точці і справджується рівність:

(3)

Приклад 3.

.

Теорема 3.

(Лінійність диференціювання)

Нехай функції , диференційовані в точці граничній для множини . Тоді функція диференційована в точці і виконується рівність:

.

Теорема 4.

(Похідна добутку в нулі функції)

Нехай , диференційована в точці і . Якщо неперервна в точці , граничній для множини , то функція диференційована в цій точці і виконується рівність:

.

(4)

Наслідок.

(Диференціювання добутку функцій)

Якщо функції , диференційовані в точці граничній для множини , то функція диференційована в точці і виконується рівність:

(5)

Теорема 5.

(Похідна частки)

Нехай , диференційовані функції в точці , граничній для множини . Якщо , то функція - диференційована в точці і виконується рівність:

.

(6)

Теорема 6.

(Похідна оберненої функції)

Нехай функція - оборотна, , і є граничною точкою множини , . Якщо існує і обернена функція неперервна в точці , то вона диференційована в цій точці. Якщо, крім того, - гранична точка множини , то

(7)

Приклад 4.

Знайти .

, бо .

1)

;

7)

;

2)

;

8)

;

3)

;

9)

;

4)

;

10)

;

5)

;

11)

;

6)

;

12)

;

Приклад 5.

Знайдемо похідну степенево-показникової функції:

.