Lektsii_Rubleva_1 / Гл 02 Пох_дна / Пар 2-04 Теореми про середнє
.doc, тобто і - суперечить тому, що .
2) Якщо ж і при деякому з неперервності в точці : : ; додаючи сюди (4), одержимо: , з чого слідує, що : і знову суперечність з умовою . Отже, ми маємо: і . В наслідок довільності остаточно одержимо, що .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Двобічна оцінка приросту функції) |
|
|
Нехай і має скінчену похідну в кожній точці , за винятком, можливо, деякої зліченої її підмножини . Тоді виконуються нерівності: |
|
|
, |
(5) |
|
де , . |
|
Доведення. Утворимо функції , , , для яких, за теоремою, маємо: (5).
Наслідок доведено.
Наслідок 2. |
(Про стаціонарну функції) |
|
Якщо і , де - деяка не більш ніж злічена підмножина проміжку , то . |
Доведення слідує з попереднього наслідку, якщо покласти .
Наслідок 3. |
Про функцій з рівними похідними) |
|
Якщо функції , та існують скінченні , , де - деяка не більш ніж злічена підмножина проміжку , то : . |
Доведення. Це слідує з попереднього наслідку, якщо його застосувати до функції .
Наслідок доведено.
Наслідок 4. |
(Про строгу нерівність між крайніми значеннями) |
|
В умовах теореми, якщо хоча б в одній точці виконується нерівність , то . |
Доведення. Якщо , то на за теоремою одержимо, що . З умови слідує, що : . А далі, розглядаючи , одержимо, за теоремою, . Підсумовуючи ці результати, одержимо: . Аналогічно для .
Наслідок доведено.
Наслідок 5. |
Критерії строгої та нестрогої монотонності функції) |
|
Нехай функція , , де не більш, ніж злічена.
|
Доведення. Якщо не спадна, і . З того, що , то . Якщо - зростає, і припустимо, що : , то , що суперечить зростанню .
Для монотонного не спадання все слідує безпосередньо з теореми.
Доведемо другу частину, яка стосується зростання . : : за наслідком 4 - зростає.
Наслідок доведено.
Твердження теореми та його наслідки залишаються правильними і для випадків:
-
півінтервалу і лівої похідної ;
-
сегменту та просто похідної .
Приклад 4. |
Розглянемо функцію , . |
|
і : - строго зростаюча на . |
Теорема 6. |
(Коші) |
|
|
Нехай функції неперервні на , диференційовані на . Тоді : |
|
|
(6) |
Доведення. Розглянемо функцію , де . Тоді - диференційована на і : (6).
Теорему доведено.
Наслідок. |
(Переформулювання теореми Коші) |
|
|
Якщо в умовах теореми Коші виконується одна з умов: 1) ; 2) , то формулу (6) можна записати у вигляді: |
|
|
(7) |
Доведення. 1) Якщо , то з умови слідує, що права частина (6) відмінна від нуля і формулу (6) можна записати у вигляді (7).
Якщо ж і знов з умови слідує, що (6) можна записати у вигляді (7).
2) З умови за теоремою Дарбу - знакостала на з наслідку 5 з узагальненої теореми Лагранжа строго монотонна на і формула (7) має зміст.
Наслідок доведено.
Теорема 7. |
(Неперервність похідної) |
|
Нехай функція неперервна в деякому околі , і диференційована , і існує . Тоді диференційована в точці і . |
Доведення. і за теоремою Лагранжа на , якщо , або , якщо , можемо записати: , . За умовою теореми .
Теорему доведено.
Теорема 8. |
(Характер точок розриву похідної) |
|
Якщо диференційована на , то її похідна не може мати на усувних розривів, а також розривів першого роду. |
Доведення. Нехай - диференційована на , а її похідна розривна в точці . Якщо - точка усувного розриву і . За попередньою теоремою - суперечність. Якщо ж - точка розриву першого роду, тобто , що суперечить критерію диференційованості на (а саме в точці ).
Теорему доведено.
Тобто похідна може мати лише розриви другого роду, тобто мають властивості такі співвідношення:
.
Приклад 5. |
Дослідити на неперервність похідну функції: |
|
; . - має в точці - розрив другого роду. |
|
|
|