ovta-posibnyk

правляючими векторами яких вони є) називаються ізотропними (у фізиці – також нульовими або світлоподібними). Зокрема, псевдоевклідова площина має рівно два незбіжні ізотропні напрямки. Ізотропні прямі тривимірного псевдоевклідового простору, проведені через довільну фіксовану точку, утворюють конус із вершиною у цій точці.

Якщо ж деякі власні значення метричного тензора gij від'єм-

ні, то існують вектори x , для яких x x 0 , тобто з уявною до-

вжиною. Все це вимагає при розгляді псевдоевклідового простору деякої перебудови інтуїції, яка вже виникла раніше на основі досвіду, набутого при дослідженні евклідового простору.

У теорії відносності велику роль відіграють псевдоевклідові простори із сигнатурою (n – 1, 1). Такий простір називається простором Мінковського, а лінійне відображення такого простору самого у себе (що зберігає квадрати векторів) називається

перетворенням Лоренца. Із формули

x y 14 x y 2 x y 2

випливає, що при перетвореннях Лоренца зберігаються і будь-

які скалярні добутки. Перетворення Лоренца відіграють для простору Мінковського таку саму роль, як ортогональні перетворення (просторові повороти, дзеркальні відображення) для тривимірного евклідового простору.

§ 2. Псевдоевклідова площина та її фізична інтерпретація

Зображення псевдоевклідової площини – це спроба знайти відповідність між точками звичайної двовимірної площини та точками двовимірного псевдоевклідового простору.

У теорії відносності точці псевдоевклідової площини відповідає подія (будь-яка), що відбувається в момент часу t у прос-

181

торовій точці із координатою x . Точки такої площини зручно представляти векторами на звичайній площині із координатами

x0 ct , x1 x та скалярним добутком

(x0e0 x1e1) (x0 e0 x1 e1) x0 x0 x1x1 ,

тут вектори e0 , e1 , зазвичай, – вектори, що виходять із початку координат у точки із координатами (1,0), (0,1), відповідно. Часова

то з умови збереження квадрата двовимірного вектора

(x0 )2 (x1)2 (x 0 )2 ( 2 2 ) (x 1)2 ( 2 2 ) 2x 0 x 1

випливає, що ch , sh , тобто

Тут th – параметр, що визначає перетворення. Знайдемо його

для випадку, коли просторовий рух одновимірний (уздовж осі Ox ) і штрихована інерціальна система координат S рухається

відносно нештрихованої інерціальної системи координат S зі

182

швидкістю v . Ясно, що точка, яка знаходиться у стані спокою в нештрихованій інерціальній системі координат, повинна рухатися зі швидкістю v відносно штрихованої системи. З іншого

бою координату та час однієї і тієї самої події, зареєстрованої у розглянутих двох інерціальних системах відліку, має вигляд

Зазначимо, що параметр , який визначає перетворення Ло-

ренца, є аналогом кута повороту при обертанні. Послідовне використання двох перетворень із параметрами 1, 2 рівносильне

перетворенню із параметром 1 2 (можна перевірити, пере-

множивши відповідні матриці переходу). Розглянуте перетворення Лоренца (9.4) можна тлумачити як відображення площини (ct, x) у саму себе при фіксованому початку координат. Воно називається гіперболічним поворотом площини (відносно пря-

мих ct x1 ), яка при цьому повороті переходить сама в себе. Назва пояснюється тим, що при такому перетворенні гіперболи

ct 2 (x1)2 C , C const , також переходять самі в себе.

Підбираючи , можна перевести вісь x1 у довільне із просто-

рово-подібних положень, які у цій теорії рівноправні (подібно до того, як на евклідовій площині взагалі всі напрямки x рівноправні).

Відповідно змінюється і вісь x0 . З огляду на це слід зазначити таке: зображення осей x0 та x1 взаємно перпендикулярними жодного значенняне має, осі x 0 , x 1 анітрохине гіршіза x0 , x1 .

Осі x 0 , x 1 та x0 , x1 на рис. 9.1 – це власні осі часу і простору для двох спостерігачів, що рухаються один відносно одного

183

зі швидкістю v c th . Оскільки th 1 , то ця швидкість мен-

ша за c (гранична швидкість поширення сигналів дорівнює швидкості світла, тоді і гранична відносна швидкість руху спостерігачів дорівнює c). Із рис. 9.1 стає зрозумілим поняття відносності подій: так події А, В, одночасні з погляду першого із спостерігачів, не є одночасними із точки зору іншого.

Упросторі Мінковського розмірності n > 2 сукупність прос- торово-подібних радіус-векторів відокремлена від сукупності часо-подібних світловим конусом нульової довжини.

§3. Тензорне числення

упсевдоевклідовому просторі спеціальної теорії відносності

Успеціальній теорії відносності довільну подію прийнято характеризувати трьома просторовими координатами x , y , z

та моментом часу t , у який вона відбулася. Інтервалом між дво-

ма подіями x1, y1, z1,t1 та x2 , y2 , z2 ,t2 називається величина S21 , квадрат якої задається виразом

Згідно з основним постулатом теорії відносності інтервал між подіями має однаковий вигляд та числове значення у всіх інерціальних системах відліку. Іншими словами, квадратична форма (9.5) є інваріантом, тобто не залежить від вибору інерціальної системи відліку.

З огляду на це зручно об'єднати звичайний тривимірний простір та час в один чотиривимірний простір Мінковського. У цьому просторі вводитимемо два різновиди координат (контраваріантні й коваріантні) та два типи тензорних індексів (верхні та нижні) подібно до того, як це робилося в розд. 7 при розгляді косокутної системи координат. Кожна точка чотиривимірного псевдоевклідового простору характеризується чотиривимірним радіус-вектором (4- радіус-вектором) ізконтраваріантнимикоординатами

Квадрат відстані між двома точками в цьому чотиривимірному просторі визначається квадратичною формою (9.5), а квадрат 4-радіус-вектора таким виразом:

який є оберненим до (9.8), як і у тривимірному евклідовому просторі, повинен визначатися зі співвідношення gik gkl i l . Тут і да-

лі i l – символ Кронекера, але чотиривимірний, і використовуєть-

ся таке правило підсумовування: за парою німих індексів, яка складається з одного верхнього і одного нижнього однаково позначених індексів, всюди здійснюється підсумовування в межах від 0

до 3. Легко бачити із (9.8), що контраваріантні компоненти gij збігаються ізковаріантними, тобто gij gij .

Компоненти 4-радіус-вектора (9.6) при переході до іншої чотиривимірної системи координат перетворюються за законом

де сукупність коефіцієнтів ik складає матрицю лінійного перетворення, яка описує перехід від штрихованої системи координат до нештрихованої. Верхній індекс коефіцієнта ik означає

номер рядка, нижній – номер стовпця матриці переходу. Обернене перетворення (від нештрихованої до штрихованої

системи координат) здійснюється за допомогою оберненої до ik (9.9) матриці

Оскільки перехід до іншої інерціальної системи координат у розглядуваному чотиривимірному просторі не змінює квадратичну форму (9.7), матриці перетворень (9.9) та (9.10) задовольняють співвідношення

Нехай штрихована інерціальна система координат S рухається відносно нерухомої нештрихованої системи координат S уздовж осі Ox зі швидкістю v (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Штрихована інерціальна система координат рухається відносно нерухомої нештрихованої системи координат

уздовж осі Ox зі швидкістю v

Однойменні декартові осі паралельні, а в момент часу t t 0 початки відліку цих двох координатних систем збіглися. Тоді координати та час однієї і тієї самої події, зареєстрованої у різних указаних інерціальних системах відліку, зв'язані між собою перетворенням Лоренца (див. (9.4))

тут і далі використовуються позначення

Формули оберненого перетворення отримуються заміною знака швидкості v :

Зазначимо, що (9.16), (9.17) – це приклади матриць перетворень, що фігурують у (9.9), (9.10) і відповідають переходу між системами координат, зображеними на рис. 9.2.

Означення 1. Вектор {Ai} у чотиривимірному просторі (4-вектор) – це об'єкт, який задається впорядкованим набором із чотирьох величин A0 , A1, A2 , A3 , які при переході від однієї

чотиривимірної системи координат до іншої перетворюються за законом

тобто так само, як контраваріантні компоненти 4-радіус-вектора (9.9), (9.10). Говорять також, що Ai (i 0,3) утворюють контра-

варіантний 4-вектор.

За аналогією із компонентами 4-радіус-вектора перша компонента A0 4-вектора {Ai} називається часовою, а три інші

187

A1, A2 , A3 – просторовими. Останні відносно ортогональних перетворень декартових систем координат утворюють звичайний

тривимірний вектор A і збігаються з декартовими координатами цього вектора Ax , Ay , Az . Інколи (наприклад, у [2], [19]) вико-

складена із компонент довільного 4-вектора Ai , є інваріантом. Її називають квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора може бути додатним, від'ємним або рівним нулю. Тоді вектори називають, відповідно, часо-подібними, просторовоподібними та нульовими.

Подібно до тривимірних евклідових векторів у косокутному базисі (див. розд. 7), кота контраваріантні компоненти 4-вектора

зв'язані між собою за допомогою коваріантного gik та контраваріантного gik метричних тензорів таким чином:

Якщо метричний тензор вибрано у вигляді (9.8), то зв'язок між кота контраваріантними компонентами 4-вектора є таким:

Таким чином, один і той самий вектор можна подати як контраваріантними компонентами, так і коваріантними:

{Ai} ( A0 , A) , {Ai} ( A0 , A) . (9.23)

Квадрат 4-вектора (9.20) запишеться так:

Скалярний добуток двох 4-векторів {Ai} та {Bi} має вигляд

Один і той самий скалярний добуток можна представити у різних формах:

Ai Bi Ai Bi gik Ai Bk gik Ai Bk A0B0 A B A0B0 A B .(9.26)

188

Тоді чотиривимірна дивергенція 4-вектора Ai визначається виразом

Означення 2. Чотиривимірним тензором (4-тензором) T другого рангу називається об'єкт, який задається впорядкованим

набором 16 величин T ik , які при переході до іншої системи координат перетворюються за законом (як добуток відповідних компонент 4-радіус-вектора):

вважають також, що вони утворюють контраваріантний тензор другого рангу і записують T {T ik } , що означає тензор T із

контраваріантними компонентами T ik . Часто про сукупність компонент тензора говорять як про сам тензор, наприклад, двічі

контраваріантний тензор T ik .

Чотиривимірний тензор більш високого рангу визначається аналогічно. Один і той самий тензор другого рангу можна зада-

вати різними наборами компонент: контраваріантними T ik , ко-

Легко показати, що компоненти метричного тензора gik та gik дійсно утворюють тензори відповідної структури подібно до того, як це було зроблено в розд. 7, § 3. Оскільки коваріантні gik

та контраваріантні gik метричні тензори мають однаковий діа-

гональний вигляд (9.8), то підняття або опускання часового індексу 0 не змінює компоненту 4-тензора, у той час як така сама

190