ovta-posibnyk

Аналогічні формули мають місце для елементів довжин дуг інших координатних ліній dl2 e2dq2 , dl3 e3dq3 .

Аналогічні вирази мають місце для елементів площ інших коор-

Відносна простота отриманих виразів для елементів довжин дуг, площі поверхні та об'єму робить доцільним уведення відповідних систем криволінійних координат для обчислень.

Довільне векторне співвідношення, подане в декартовій системі координат, можна записати у криволінійних координатах, але слід пам'ятати, що базисні вектори у системі криволінійних координат є функціями точки.

§ 2. Ортогональні криволінійні системи координат

Криволінійні координати називаються ортогональними, якщо в довільній точці три координатні лінії, що проходять через цю точку, мають дотичні, що ортогональні між собою. Іншими словами, криволінійні системи координат, для яких вектори лока-

льного базису ортогональні ( ei e j 0 , якщо i j ) у будь-якій

точці простору, називаються ортогональними криволінійними системами координат. Відповідно фундаментальна матриця та обернена до неї мають діагональний вигляд

151

Вони характеризують у кожній точці простору зміну довжини координатної лінії dl (dl ) залежно від зміни dq відповідної криволінійної координати q .

Тоді g11 H12 , g11 H1 2 , і аналогічно записується для інших

діагональних елементів фундаментальної матриці. Характерною рисою ортогонального базису є те, що вектори локального та взаємного базисів мають однакові напрямки, але відрізняються за довжиною та фізичною розмірністю (оскільки декартові ко-

ординати xi та криволінійні q j можуть мати різну розмірність). Дійсно, наприклад, e1 H1 , але e1 e1 1, тому e1 має довжину e1 1/ H1 . Унаслідок цього й розмірність компонент одного і

того самого вектора, розкладеного за векторами основного і взаємного базисів, може бути різною, що створює незручності при розв'язуванні фізичних задач. Тому вводять локальний базис із

одиничних векторів e( ) , e( ) e( ) (будемо їх позначати

нижніми індексами, взятими у круглі дужки), так званий "фізичний" базис. Зв'язок між векторами локального та взаємного базисів та ортами фізичного базису має вигляд

(знак суми за індексами, що повторюються, відсутній, оскільки індекси позначені грецькими літерами).

152

На практиці, у прикладних фізичних задачах використовують й інші позначення для векторів фізичного базису. Замість індексу у вигляді цифри, узятої у круглі дужки, використовують літеру, що позначає відповідну криволінійну координату. Напри-

клад, er , e , e – відповідно орти фізичного базису e(1) ,e(2) ,e(3)

і зв'язані з коваріантними та контраваріантними координатами співвідношеннями

Перетворення, що здійснює перехід від декартової системи координат до ортонормованої криволінійної системи координат, є ортогональним, оскільки переводить ортонормований базис у ортонормований. Коефіцієнти розкладання одного базису за ін-

шим є елементами ортогональної матриці переходу ij . Знаючи

їх і компоненти вектора (або тензора) в одній системі координат, можна знайти компоненти цього геометричного об'єкта в іншій системі координат. Причому, зв'язок між компонентами векторів у різних системах координат буде такий самий, як і між ортами, тобто за допомогою тієї ж матриці переходу. Наприклад, якщо ми знайшли розклад для орта сферичної системи координат за ортами декартової системи координат:

er = ex sin cos ey sin sin ez cos ,

то аналогічний зв'язок існуватиме й між компонентами векторів (коефіцієнти розкладання ті самі):

Ar = Ax sin cos Ay sin sin Az cos .

153

Аналогічні вирази мають місце для елементів довжин дуг інших

координатних ліній:

dl2 H2dq2e(2) , dl3 H3dq3e(3) .

Векторний елемент площі q3 -координатної поверхні визна-

Аналогічні вирази мають місце для елементів площ інших

координатних поверхонь:

(dS )2 dl3 dl1 H1H3dq1dq3e(2) , (dS )1 dl2 dl3 H2H3dq2dq3e(1) .

тобто якобіан переходу від декартових до криволінійних координат визначається добутком параметрів Ламе

i 1

координатізбазисом {e(1) ,e(2) ,e(3)} є розв'язками системирівнянь

154

Приклади криволінійних ортогональних систем координат.

системи рівнянь (8.17), якщо виразимо змінну через декартові

Через кожну точку проходять три координатні лінії, які можна розглядати як результат перетину відповідних координатних

155

поверхонь: коло ( -лінія, уздовж якої змінюється в межах від 0 до 2 , а і z – фіксовані), півпряма ( -лінія, уздовж якої змінюється в межах від 0 до , а і z – фіксовані), пряма ( z -лінія, уздовж якої z змінюється в межах від до , а і – фіксовані).

Звідси знаходимо відповідні параметри Ламе (довжини векторів основного локального базису) H = 1 , H = , H z = 1 та

зв'язок векторів фізичного ортонормованого базису e , e , ez та ортів ex , ey , ez :

Матриця переходу від декартового базису до циліндричного

збігається з матрицею повороту на кут навколо осі Oz . Стовпці цієї матриці задають коефіцієнти розкладання ортів ПДСК

156

через орти циліндричної системи координат. Знаючи матрицю переходу, можна записати зв'язок компонент вектора a в цих базисах, наприклад:

ax = a cos a sin , ay = a sin a cos , az = az .

Цей зв'язок такий самий (коефіцієнти розкладання такі самі), як і для ортів відповідних базисів.

Вектори локального базису та параметри Ламе можна знайти іншим способом – геометрично, не користуючись декартовою системою координат. Для цього візьмемо довільну точку

ся у відповідність трійка чисел ( r – відстань від точки до початку координат, – кут, що утворює радіус-вектор із додатним напрямком осі Oz , – кут, який утворює проекція

157

Звідси знаходимо відповідні параметри Ламе (довжини векторів

основного базису): Hr = 1, H = r , H = r sin та зв'язок векторів

фізичногоортонормованогобазису er , e , e таортів ex , ey , ez :

er = sin cos ex sin sin ey cos ez , e cos cos ex cos sin ey sin ez , e = sin ex cos ey ,

який здійснюється за допомогою ортогональної матриці переходу від декартового базису до сферичного:

Стовпці цієї матриці задають коефіцієнти розкладання ортів ПДСК через орти сферичної системи координат. Перехід від декартового базису до сферичного (рис. 8.5) здійснюється в результаті виконання трьох послідовних операцій: повороту на кут

зисах, наприклад:

ax = ar sin cos a cos cos a sin , ay = ar sin sin a cos sin a cos , az = ar cos a cos .

159

Він такий самий (коефіцієнти розкладання такі самі), як і для ортів відповідних базисів.

Вектори основного локального базису та параметри Ламе можна знайти іншим способом – геометрично, не користуючись декартовою системою координат. Візьмемо довільну

Параболічна система координат (координати u , v , ). Якщо

у задачі зустрічаються разом r (сферичний радіус) та z , зручно користуватися параболічними координатами:

160