ovta-posibnyk

Приклад 2. Полікристалічне середовище складається із хаотично орієнтованих гексагональних мікрокристалів однакового розміру, причому осі симетрії мікрокристалів мають переважний напрямок орієнтації n , а напрямки інших кристалічних осей рівноймовірні. Функція розподілу осей мікрокристалів за напрямками f ( ) , де – кут між вектором n і віссю мікрокри-

стала, визначена так, як у попередньому прикладі, є заданою. Відомо, що фізичні властивості мікрокристала описуються за допомогою деякого тензора. Знайти середнє за об'ємом значення такого тензора для середовища. Розглянути випадки таких тензорів: а) довільний симетричний тензор другого рангу; б) довільний повністю симетричний тензор четвертого рангу.

Розв'язання. Усереднення за об'ємом еквівалентне усередненню за орієнтаціями, оскільки розміри мікрокристалів однакові. Нехай напрямок осі симетрії окремого мікрокристала задається вектором s (протилежні орієнтації вектора s еквівалентні). У гексагональному кристалі симетричний тензор другого рангу є одновісним і має вигляд ij 1 ij ( 3 1)si s j (див. (5.15)), а повністю

симетричний тензор четвертого рангу мікрокристалів за заданого s стає одновісним після усереднення за орієнтаціями кристалічних осей, перпендикулярних до s , і має вигляд (див. (5.27)):

ijkl = 13 1 ij kl ik jl il jk 1 3 6 2 si s j sk sl

мо заданими. Позначимо компоненти тензора для середовища

91

через ijkl , ijkl ijkl . Скориставшись результатом прикладу 1,

після усереднення за орієнтаціями вектора s , дістанемо

ij 13 (2 1 3 ) ij S2 ( 3 1)(nin j 13 ij ) ,

ijkl = 13 1 ij kl ik jl il jk 1 3 6 2 nin jnk nl

jk ninl jlnink klnin j .

Тут

а всі середні у правих частинах обраховані у прикладі 1.

Контрольні запитання

1.Псевдовектори та псевдотензори.

2.Чому псевдотензори називають відносними тензорами?

3.Символи Леві-Чівіта.

4.Якийгеометричнийоб'єктутворюють символиЛеві-Чівіта?

5.Як змінюється псевдотензор Леві-Чівіта при переході до іншого ортонормованого базису?

6.Записати вираз для векторного та мішаного добутків векторів через символи Леві-Чівіта.

7.Записати вираз визначника квадратної матриці через символи Леві-Чівіта.

8.Довільному антисиметричному тензору другого рангу можна поставити у відповідність деякий псевдовектор (аксіальний вектор) чи справжній вектор? Як?

9.Чи можна поставити у відповідність псевдовектору деякий

антисиметричний тензор другого рангу?

92

Задачі

5.1.Тензор a b розкласти на симетричну та антисиметричну частини. Знайти аксіальний вектор , що відповідає анти-

симетричній частині цього тензора. 5.2. Довести твердження:

а) єдиний вектор, компоненти якого однакові в усіх системах координат, – нульовий вектор;

б) тензор другого рангу, компоненти якого однакові в усіх системах координат, – пропорційний ij ;

в) псевдотензор третього рангу, компоненти якого однакові в усіх системах координат, – пропорційний eijk ;

г) повністю симетричний тензор четвертого рангу, компоненти якого однакові в усіх системах координат, – пропорційний

ik lm im kl il km .

5.3. Одиничний вектор n із однаковою ймовірністю може набувати довільної орієнтації у просторі. Знайти середні зна-

набувати довільної орієнтації у просторі. Обчислити середні значення таких добутків (означення середнього див. (5.23)):

5.5.I (a,b ) = d a r b r .

r r

93

5.6.I (a,b,c, d ) = d ar r b r r c rr d r r .

5.7.Враховуючи симетрію підінтегрального виразу та його тензорну структуру, знайти значення інтегралів:

94

Розділ 6 Векторний аналіз у декартових

системах координат

§ 1. Скалярне поле.

Градієнт скалярного поля

Розглянуті в розд. 1 алгебраїчні операції над векторами придатні як для сталих, так і для змінних векторів.

Якщо деяка скалярна величина має визначене значення в кожній точці тривимірного простору або частини простору, ми

говоримо про скалярне поле (r ) цієї величини в цій області

простору. Прикладами скалярних полів є поле температури, поле тиску в атмосфері, поле електростатичного потенціалу.

Задання поля за допомогою функції трьох змінних (трьох декартових координат) (r ) ( x, y, z) не завжди дає достатню

уяву про зміну цього поля. Тому зручно користуватися так званими поверхнями рівня. Поверхнею рівня (r ) C називають

геометричне місце точок, у яких скалярна функція поля має одне й те саме значення. У випадку електростатичного потенціалу поверхні рівня називають еквіпотенціальними поверхнями. На-

даючи константі C різних числових значень, маємо окремі поверхні рівня. Взаємне розміщення поверхонь рівня у просторі і дає наочне уявлення про це скалярне поле. Поверхні рівня не повинні перетинатися. Дійсно, на лінії перетину двох повер-

хонь – 1(r ) C1 та 2 (r ) C2 – функція (r ) мала б два різні значення, що недопустимо. Математично це означає, що фун-

кція (r ) повинна бути однозначною.

При вивченні скалярних полів користуються не лише декартовою системою координат, а й іншими прямокутними, але криволінійними системами координат (див. розд. 8).

95

x xo 2 y yo 2 z zo 2 C2 .

Нехай точка r є правильною точкою функції (r ) , тобто в

околі цієї точки функцію можна розвинути в ряд Тейлора. У загальному випадку функція (r ) у різних напрямах змінюєть-

ся по-різному. Природно поставити питання про швидкість зміни цієї функції в розглядуваній точці в довільному напрямку, що виходить із точки з радіус-вектором r . Напрямок, у якому нас

Праву частину можна інтерпретувати як скалярний добуток двох векторів s s1e1 s2e2 s3e3 та grad x e1 y e2 z e3 ,

який називають градієнтом функції. Тоді можна записати

s grad s (s ) .s

96

Тут символ позначає оператор Гамільтона "набла" – диференціальний векторний лінійний оператор, який у декартовій системі координат має вигляд

якщо використовувати загальноприйняті позначення для ортів ПДСК. При переході до іншої ПДСК частинні похідні від перетворюються за таким самим законом, що і компоненти вектора. Отже, grad є вектором.

Повернемося до формули для похідної від скалярної функції

s 0 , а це можливо тільки тоді, коли cos s, 0 ,

s

тобто коли s . Таким чином, вектор grad є перпе-

ндикулярним до поверхні рівня. Якщо вектор s є довільно орієнтованим відносно поверхні рівня, але не дотичним до неї, то

зує напрямок найшвидшої зміни функції у даній точці і за абсолютною величиною дорівнює відповідній похідній функціїза напрямком найшвидшого її зростання.

97

Оскільки – лінійний диференціальний оператор першого порядку, справедливі такі очевидні формули:

grad C1 f C2 = C1 grad f C2 grad , де C1 , C2 – сталі, grad f = grad f f grad ,

grad f ( ) = ddf grad .

§ 2. Векторні поля.

Характеристики векторного поля

Якщо деяка векторна величина має визначене значення у кожній точці простору або частини простору, ми говоримо про

векторне поле A(r ) цієї величини. Прикладами векторних полів

є: напруженість електростатичного поля, індукція магнітного поля, середня швидкість частинок рухомої рідини, а також поле градієнта скалярної функції.

98

2.1. Векторні лінії

Геометричними характеристиками скалярного поля є поверхні рівня, а наочне уявлення про структуру векторного поля дають векторні лінії – це напрямлені криві, дотичні до яких у кож-

ній точці вказують напрямок вектора A в цій точці. Зокрема,

якщо A є поле швидкостей стаціонарного потоку рідини, то його векторні лінії є траєкторіями частинок рідини. Зауважимо, що в електростатиці векторні лінії напруженостей називають вими лініями. Неважко записати систему рівнянь, із якої можна

знайти векторні лінії заданого поля A(r ) . Умову паралельності малого елемента dr (dx,dy,dz) довжини дуги векторної лінії та вектора A(r ) , який дорівнює

A(r ) 3 Ai ( x, y, z)ei ,

i 1

де Ai ( x, y, z) – неперервні функції від x, y, z , які маютьнеперервні

Записавши цю векторну рівність у проекціях, дістаємо диференціальні рівняння для двох сімей поверхонь, лінії перетину яких і визначають векторні лінії:

Інтегрування системи двох диференціальних рівнянь (6.1) дає

перетином яких і є векторна лінія. Таким чином, розглянуті у сукупності, рівняння (6.2) визначають двопараметричну сім'ю векторних ліній.

99

Зауважимо, що векторні лінії не повинні перетинатися, що накладає умову однозначності на функцію A(r ) .

Приклад 6. Знайти векторні лінії для випадку векторного поля

A(r ) w r , w const .

Розв'язання. Виберемо осі координат так, щоб сталий вектор w був напрямленим уздовж осі Oz , w 0,0, w . Тоді

A1 w2 z w3 y wy , A2 w3x w1z wx , A3 w1 y w2 x 0

і рівняння векторних ліній (6.1) матимуть вигляд

Звідси випливає, що dz 0 , xdx ydy 0 , інтегрування яких дає систему двох рівнянь z C1 , x2 y2 C22 , котрі визначають площину і циліндр при деяких фіксованих значеннях C1 та C2 ,

перетином яких є коло. Таким чином, векторними лініями є концентричні кола, що лежать у площинах, перпендикулярних

до вектора w (центри кіл лежать на осі вектора w ).

Приклад 7. Показати, що для векторного поля

A(r ) rr3

векторними лініями є сім'я променів, що виходять із початку координат.

Розв'язання.

вектором r , за винятком початку координат, напрямок вектора A вказує одиничний вектор er rr , який виходить із початку

координат у напрямку відповідного радіус-вектора r . Оскільки через кожну точку проходить тільки одна векторна лінія в силу

однозначності функції A(r ) er r2 , то зафіксувавши сферичні кути , (які визначають напрямок er ) та змінюючи r від ну-

ля до нескінченності, отримаємо векторну лінію промінь, що виходить із початку координат.

100