Гайнуллин часть2

и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). Следствием системы уравнений может быть и одно уравнение. Например, уравнение 3х-2у =3 является следствием системы:

(как сумма уравнений системы). Вообще следствием системы уравнений может быть система как с меньшим, так и с большим числом уравнений. Так, система

2х + у = 5,

− = −

х 3у 2,3х − 2у = 3

есть следствие системы

В свою очередь эта система является следствием предыдущей системы. Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Ясно, что две системы равносильны тогда и только

тогда, когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй. Отсюда, в частности, следует, что если к системе уравнений добавить еще одно уравнение, являющееся следствием данной системы, то новая система будет равносильна исходной. Если же опустить какое-либо уравнение системы, то оставшееся уравнение (или система уравнений) будет следствием исходной системы.

Если в условии не оговорено, на каком множестве требуется решить систему рациональных уравнений, то предполагается, что решать ее нужно

равносильны.

87

Теорема 2. Если уравнение f (x, y) = g(x, y) является следствием урав-

нений f1(х, у) = g1(х, у) и f2 (х, у) = g2 (х, у) или одного из этих уравнений, то система

или f2 (х, у) = g2 (х, у),f (х, у) = g(х, у)

f1 (х, у) = g1 (х, у),f2 (х, у) = g2 (х, у).

В частности, следствиями системы

f2 (х, у) g2 (х, у)

равносильно уравнению f2 (х, у) = g2 (х, у) . Тогда системе (3) равносильна следующая система

Ее следствием в свою очередь является система:

является следствием системы (3).

88

Если, решая систему, мы преобразовали ее в систему, являющуюся следствием исходной, то найденные решения новой системы, безусловно, подлежат проверке подстановкой в исходную систему. Если же полученная система равносильна исходной, то такая проверка не требуется. Поэтому нам в дальнейшем окажутся полезными следующие замечания.

Замечание 1. Система (4) равносильна системе (3).

Замечание 2. Если не существует таких пар (х, у), при которых обе части уравнения f1(х, у) = g1(х, у) одновременно обращаются в нуль, то система (5) равносильна системе (3).

Замечание 3. Система (6) равносильна системе (3) над полем действительных чисел, если для любых х, у из области определения системы (3) выполняется неравенство f1(х, у) g1(х, у) ≥ 0 .

Замечание 4. Если не существует таких пар (х, у), при которых одновременно обращаются в нуль обе части каждого из уравнений системы (3), то система (7) равносильна системе (3).

Отметим еще один результат, с очевидностью вытекающий из тео-

f2 (х, у) = g2 (х, у); (или является его следствием), то совокупность систем

равносильна системе (3) (или является ее следствием).

В частности, следствием системы

f1(х, у) = g1(х, у),

f21(х, у) f22 (х, у) ... f2к (х, у) = 0

является совокупность систем:

Замечание5. Аналогичные результаты справедливы для систем уравнений с тремя, четырьмя т. д. переменными.

Основные методы решения систем

1.Метод линейного преобразования системы (или метод алгебраического сложения).

2.Метод подстановки.

3.Метод замены переменных.

Метод линейного преобразования системы основан на следующей теореме.

89

равносильны.

В частности, если а1 =1,а2 = 0,b1 =1,b2 = ±1, то получим систему

f1(х, у) = 0,

f1(х, у) ± f2 (х, у) = 0

равносильную исходной.

Естественным образом эта теорема распространяется на случай большего числа уравнений. Например, для трех уравнений с тремя неизвестными имеет место следующая теорема.

то системы

равносильна следующая система

В случае системы трех уравнений с тремя переменными соответствующая теорема формулируется следующим образом.

Теорема 5’. Системе уравнений

Решения этой совокупности будут одновременно и решениями сис-

темы

F1(х, у) = 0,

F2 (х, у) = 0.

Пример1. Решим систему

на множестве действительных чисел.

Решение. Перемножив уравнения системы, получим систему

91

являющуюся следствием исходной. Второе уравнение системы (9) путем несложных преобразований сводится к уравнению ху=8 — следствию второго уравнения системы (9). Тогда система

будет следствием системы (9).

Вычтем теперь первое уравнение системы (10) из второго. Получим систему

и далее Система (11) —следствие системы (10).

Перемножим уравнения системы (11). Получим систему

которая будет следствием системы (11). Из второго уравнения системы (12) находим у1 = 2, у2 = -2 (ограничиваемся действительными корнями), а из первого уравнения, соответственно, х1 = 4, х2 = -4.

Итак, система (12) имеет следующие решения: (4; 2) и (-4; -2). Проверка. Поскольку система (12) является в конечном счете следст-

вием системы (8), то найденные решения системы подлежат проверке, которую можно выполнить с помощью подстановки найденных решений системы (12) в систему (8). Эта проверка показывает, что оба решения системы (12) являются и решениями системы (8). Таким образом, решениями системы (8) являются пары: (4; 2) и (-4; -2).

Пример 2. Решить систему:

ху + хz = −4,

уz + yx = −1,

zx + zy = −9.

Решение. Сложив все три уравнения системы, получим: ху+уz+хz=- 7. Присоединив это уравнение к уравнениям заданной системы, получим равносильную систему:

92

ху + yz + xz = −7,

уравнений, третье уравнение — разностью первого и третьего, а четвертое

— разностью первого и четвертого, кроме того, опустим первое уравнение. Получим систему

являющуюся следствием предыдущей. Перемножив все три уравнения, получим: х2у2z 2 = 36. Приписав это уравнение к уравнениям предыдущей системы, придем к равносильной системе

Решим первую систему этой совокупности. Разделив последовательно первое уравнение системы на второе, третье, четвертое, получим

х = −2,у = −1,

z = 3.

Аналогично из второй системы находим

х = 2,

у = 1,

z = −3.

Итак, совокупность систем имеет следующие решения: (-2; -1; 3) и (2; 1; -3).

Будут ли эти решения решениями исходной системы? Пока мы этого утверждать не можем, так как полученная выше совокупность систем является, в конечном счете, следствием исходной системы. Значит, обязательна проверка найденных решений.

93

Проверка. Проверку несложно осуществить с помощью подстановки найденных решений совокупности систем в исходную систему. Эта подстановка показывает, что обе тройки (-2; -1; 3) и (2; 1; -3) являются реше-

ниями исходной системы.

Пример 3. Решим систему уравнений

х + у + z = 2,2х + 3у + z = 1,

( ) ( )

х2 + у + 2 2 + z −1 2 = 9.

Решение. Применим метод подстановки. Имеем

х = 2 − у − z,

( − − )+ + =

2 2 у z 3у z 1,

( − − )2 + ( + )2 + ( − )2 =

2 у z у 2 z 1 9

и далее

х = 2 − у − z,

у − z = −3,

2 + 2 + − =

у z уz 3z 0.

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем

т.е.

у = z − 3,

z2 − 4z + 3 = 0.

Из последнего уравнения находим: z1 = 1, z2 = 3. Из уравнения у = z - 3 получаем соответственно: у1=-2, у2 = 0, а из уравнения х = 2 - у –z находим х1=3 и x2=-1.

Итак, получили следующие решения: (3; -2; 1) и (-1; 0; 3). Пример 4. Решить дизъюнкцию уравнений:

х +1 = х −1 −х +1 = х −1.

Решение.

Ответ. {0; 3}.

Пример 5. Решить дизъюнкцию уравнений:

3х2 + 6х = х −3− х2 − 6х = х.

94