8.3. Решение краевой задачи методом Якоби

Приведем пример программы решения уравнения Лапласа методом Якоби на двумерной регулярной сетке. В программе декомпозиция области выполнена не по строкам, как на рисунке, а по столбцам. Так удобнее при программировании на языке FORTRAN, на C удобнее разбиение производить по строкам (это определяется способом размещения матриц в памяти компьютера).

С Программа решения уравнения Лапласа методом Якоби с

С использованием функции MPI_Sendrecv и NULL процессов

PROGRAM JACOBI

IMPLICIT NONE

INCLUDE 'mpif.h'

INTEGER n,m,npmin,nps,itmax

C параметры:

С n - количество точек области в каждом направлении;

С npmin - минимальное число процессоров для решения задачи;

С npsаа - число столбцов локальной части матрицы. Этот параметр

С введен в целях экономии памяти;

С itmax - максимальное число итераций, если сходимость не будет

С достигнута.

PARAMETER (n = 400, npmin=1, nps=n/npmin+1, itmax = 1000)

REAL*8 A(0:n+1,0:nps+1), B(n,nps)

REAL*8 diffnorm, gdiffnorm, eps, time

INTEGER left, right, i, j, k, itcnt, status(0:3), tag

INTEGER IAM, NPROCS, ierr

LOGICAL converged

С определение числа процессоров, выделенных задаче (NPROCS),

C и номера текущего процессора (IAM)

CALL MPI_INIT(IERR)

CALL MPI_COMM_SIZE(MPI_COMM_WORLD, NPROCS, ierr)

CALL MPI_COMM_RANK(MPI_COMM_WORLD, IAM, ierr)

С установка критерия достижения сходимости

eps = 0.01

С вычисление числа столбцов, обрабатываемых процессором

m = n/NPROCS

IF (IAM.LT.(n-NPROCS*m)) THEN

m = m+1

END IF

time = MPI_Wtime()

С задание начальных и граничных значений

do j = 0,m+1

do i = 0,n+1

a(i,j) = 0.0

end do

end do

do j = 0,m+1

A(0,j) = 1.0

A(n+1,j) = 1.0

end do

IF(IAM.EQ.0) then

do i = 0,n+1

A(i,0) = 1.0

end do

end if

IF(IAM.EQ.NPROCS-1) then

do i = 0,n+1

A(i,m+1) = 1.0

end do

end if

С определение номеров процессоров слева и справа. Если таковые

С отсутствуют, то им присваивается значение MPI_PROC_NULL

С (для них коммуникационные операцииа игнорируются)

IF (IAM.EQ.0) THEN

left = MPI_PROC_NULL

ELSE

left = IAM - 1

END +IF

IF (IAM.EQ.NPROCS-1) THEN

right = MPI_PROC_NULL

ELSE

right = IAM+1

END IF

tag = 100

itcnt = 0

converged = .FALSE.

С цикл по итерациям

DO k = 1,itmax

diffnorm = 0.0

itcnt = itcnt + 1

С вычисление новых значений функции по 5-точечной схеме

DO j = 1, m

DO i = 1, n

B(i,j)=0.25*(A(i-1,j)+A(i+1,j)+A(i,j-1)+A(i,j+1))

diffnorm = diffnorm + (B(i,j)-A(i,j))**2

END DO

END DO

С переприсваивание внутренних точек области

DO j = 1, m

DO i = 1, n

A(i,j) = B(i,j)

END DO

END DO

С пересылка граничных значений в соседние процессоры

CALL MPI_SENDRECV(B(1,1), n, MPI_DOUBLE_PRECISION, left, tag,

$ A(1,0), n, MPI_DOUBLE_PRECISION, left, tag, MPI_COMM_WORLD,

$ status, ierr)

CALL MPI_SENDRECV(B(1,m), n, MPI_DOUBLE_PRECISION, right,

$ tag, A(1,m+1), n, MPI_DOUBLE_PRECISION, right, tag,

$ MPI_COMM_WORLD, status, ierr)

С вычисление невязки и проверка условия достижения сходимости

CALL MPI_Allreduce( diffnorm, gdiffnorm, 1, MPI_DOUBLE_PRECISION,

$ MPI_SUM, MPI_COMM_WORLD, ierr )

gdiffnorm = sqrt( gdiffnorm)

converged = gdiffnorm.LT.eps

if(converged) goto 777

END DO

777 continue

time = MPI_Wtime() - time

IF(IAM.EQ.0) then

WRITE(*,*) ' At iteration ', itcnt, 'а diff is ', gdiffnorm

WRITE(*,*) ' Time calculation: ', time

END IF

CALL MPI_Finalize(ierr)

stop

end

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные примеры показывают, что при написании параллельных программ с использованием механизма передачи сообщений алгоритмы решения даже простейших задач, таких как, например, перемножения матриц, перестают быть тривиальными. И совсем уж не тривиальной становится задача написания эффективных программ для решения более сложных задач линейной алгебры. Сложность программирования с использованием механизма передачи сообщений долгое время оставалась основным сдерживающим фактором на пути широкого использования многопроцессорных систем с распределенной памятью.

В последние годы ситуация значительно изменилась благодаря появлению достаточно эффективных библиотек подпрограмм для решения широкого круга задач. Такие библиотеки избавляют программистов от рутинной работы по написанию подпрограмм для решения стандартных задач численных методов и позволяют сконцентрироваться на предметной области. Однако использование этих библиотек не избавляет от необходимости ясного понимания принципов параллельного программирования и требует выполнения достаточно объемной подготовительной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин Вл.В. Курс лекций "Параллельная обработка данных". http://parallel.ru/parallel/vvv

2. Воеводин Вл.В. Лекция об архитектуре векторно-конвейерных супер-ЭВМ CRAY C90. http://parallel.ru/vvv/lec2.html

3. The Cost Effective Computing Array (COCOA). http://cocoa.aero.psu.edu

4. "ScaLAPACK Users Guide" http://www.netlib.org/scalapack/slug/index.html

5. OpenMP Application Program Interface (API), http://www.openmp.org/

6. Андреев А.Н. Что такое OpenMP? http://parallel.ru/tech/tech_dev/openmp.html

7. Message Passing Interface Forum. MPI: A Message-Passing Interface Standard, 1994.

8. High Performance Fortran. Language Specification. High Performance Fortran Forum. http://dacnet.rice.edu/Depts/CRPC/HPFF/versions/hpf2/hpf-v20/index.html

9. nCUBE Corporation. nCUBE 2 Programmers Guide, r2.0, December 1990.

10. G. Amdahl. Validity of the single-processor approach to achieving large-scale computing capabilities. In Proc. 1967 AFIPS Conf., volume 30, page 483. AFIPS Press, 1967.

11. Ian Foster. Designing and Building Parallel Programs. http://www.hensa.ac.uk/parallel/books/addison-wesley/dbpp/index.html http://rsusu1.rnd.runnet.ru/ncube/design/dbpp/book-info.html

12. Дацюк В.Н., Букатов А.А., Жегуло А.И. Методическое пособие по курсу "Многопроцессорные системы и параллельное программирование" Часть I,II Введение в организацию и методы программирования многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону, 2000. http://rsusu1.rnd.runnet.ru/ncube/koi8/method/index.html

13. Message Passing Interface Forum. MPI: A Message-Passing Interface Standard, 1994.

14. MPI : The Complete Reference. http://rsusu1.rnd.runnet.ru/ncube/mpi/mpibook/mpi-book.html

15. MPI: The Message Passing Interface. http://parallel.ru/tech/tech_dev/mpi.html