6. Вероятности попадания в области ,,. Правило трёх сигм

Рисунок 5.5 – Вероятность попадания результатов, составляющих нормально распределенную выборку, на заданный участок кривой:

68,27 % всех результатов попадает на участок от до ;

95,45 % всех результатов попадает на участок от до ;

99,73 % всех результатов попадает на участок от до

Правило трех сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах .

Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:

1. Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.

2. Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.

3. Оценка величины . Если размах варьирования R = X_max – X_min, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение .

Задавшись процентом попаданий P%, можно найти область X  u×, где u – число сигм, согласно таблице 5.1:

Таблица 5.1 – Процентные точки нормированного нормального распределения

P%	90	95	99	99,9
u	1,64	1,96	2,58	3,29

7. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

7.1. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Под термином «оценка» понимаются как сами значения параметров генеральной совокупности, полученные по выборке, так и правило, по которому они получены. При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с той или иной вероятностью находятся истинные значения параметров.

Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными.

В качестве доверительных вероятностей принято выбирать значения 0,9; 0,95; 0,99; 0,999 (их еще выражают в процентах).

(1 – α) – доверительная вероятность, а α – уровень значимости (α = 0,1; 0,05; 0,01; 0,001), задающий вероятность того, что оцениваемый генеральный параметр выходит за границы доверительного интервала.

Выбор доверительной вероятности производится исследователем, исходя из практических соображений о той ответственности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах. Как правило, в научных исследованиях в области спорта считается достаточной доверительная вероятность 0,95 (95 %).

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится оцениваемый генеральный параметр, называется доверительным интервалом.

Иными словами, доверительным интервалом J_p называют случайный интервал (₁, ₂), который накрывает неизвестную характеристику  с доверительной вероятностью p.

Границы доверительного интервала J_p называют:

₁ = * - ₁ – нижней доверительной границей;

₂ = * + ₂ – верхней доверительной границей.

Значения ₁ и ₂ могут совпадать (при симметричном распределении *) и быть разными (при несимметричном распределении *). Они характеризуют точность, а вероятность p – надежность определения . Между надежностью и точностью существует обратная зависимость: чем выше надежность, тем ниже точность определения  и наоборот.

С увеличением числа измерений при заданном p повышается точность определения  (уменьшаются ₁ и ₂).

Для точного расчета границ доверительного интервала необходимо знать закон распределения выборочной характеристики *.