3. Аналогия

– активная форма умозаключений и является основным компонентом творческого мышления и имеет следующую структуру:

1 суждение. Предмет А обладает свойствами Х, У,Z.

2 суждение. Предмет В обладает свойствами Х, У.

Заключение. Вероятно предмет В обладает свойством Z.

Находить сходство может служить источником плодотворных рассуждений по аналогии бывает нелегко даже в том случае, когда природа составляемых объектов одинакова.

Учащиеся допускают неверные выводы по аналогии.

Пример. Рассмотрим 2 геометрические фигуры: треугольник и тетраэдр.

В чем состоит сходство между ними? Треугольник и тетраэдр – это ограниченные выпуклые множества: 1-ое образовано минимальным числом прямых, а 2-ое - минимальным количеством плоскостей.

Но если свойства треугольника уже изучены, то сходство одних свойств дает право полагать, что некоторые другие переводятся в свойства тетраэдра. Например, т.О – центр описанной окружности. В треугольнике т.О – пересечение биссектрис углов, а в тетраэдре – пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов есть центр описанной сферы. Но- высоты треугольника пересекаются в одной точке, а высоты тетраэдра не пересекаются в одной точке (только в ортоцентрическом тетраэдре).

4. Методы исследования в решении задач.

Это анализ, синтез и дедукция в их взаимосвязи.

Анализ – это метод исследования, состоящий в разделении целого на части.

При решении задач выделяют 2 формы анализа:

Форма 1: когда в рассуждениях двигаются от исходных данных к данным задачи. Этот анализ называется анализом в виде рассуждений и подразделяется на:

- нисходящий; - восходящий.

Схема нисходящего.

Пусть требуется дать некоторое утверждение А. Предполагается, что оно верно. Пытаемся из него получить верное следствие. При этом возможно несколько случаев:

А) Получено неверное следствие, следовательно, предположение о справедливости ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

Б) Получено верное следствие. В этом случае нужно обязательно проверить обратимость рассуждения (1 – если все рассуждения обратимы, то А – верно; 2 – если среди рассуждений есть необратимые, то нужно применить другие методы).

Пример. Доказать

…

Учащиеся, как правило, опускают обратные рассуждения, поэтому следует приводить примеры, которые содержат не равносильные преобразования, т.е. обратные рассуждения могут быть неверными.

Схема восходящего анализа.

Пусть требуется доказать утверждение А. Подберем такое утверждение В из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С из которого следует В и т.д. до тех пор, пока не найдем путь решения задач.

Обычно восходящий анализ применяют совместно с синтезом и используемый при этом метод называют аналитико-синтетическим.

При использовании восходящего анализа не требуется обратимости рассуждений, т.к. возможность обратного перехода проверяется при каждом шаге. Форма рассуждений при его использовании имеет вид: «Чтобы доказать - достаточно доказать!».

Пример. Доказать, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.

А: угол С прямой.

В (подбираем): дуга, на который он опирается, равна 180.

Для В достаточно указать, что вся дуга окружности равна 360, а дуга делит всю окружность на 2 равные части. Следовательно, ½ окружности содержит 180.

Форма 2: когда целое разбивается на части и от данного движемся к искомому. Этот анализ называют анализом в форме рассечения. Общая схема:

1. Разбиваем условие задачи на отдельные части.

2. Выделяем отдельные условия, остальные временно не учитываем.

3. Из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу.

4. Решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

Пример. Доказать, что в кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскость АДС перпендикулярна прямой ДВ. (…см конспект)

Т.о. при решении 1 задачи выделяется идея доказательства: Доказать, что прямая ДВ перпендикулярна другим прямым плоскости по теореме о трех перпендикулярах.

Эти элементарные задачи объединяются и приводят к решению основной задачи.

К методам исследования и решения задач относятся методы:

1. Классификация.

2. Систематизация.

3. Обобщение.