
M2 - 1.Понятие функции. Функции действительного переменного. Способы задания функции. Свойства функций.
Опр.
Пусть заданы мн-ва E
и F,
если
x
E
по определённому закону (правилу) f
ставится в соответствие некоторый
единственный элемент y
F,
то говорят, на E
задана ф-я
f
со значениями в F
или отображение
f
мн-ва E
во мн-во F.
В этом случае E – область определения ф-и, символ x– аргумент ф-и или независимая переменная.
Пусть
x0E
– конкретное значение аргумента x,
соответствующий этому значению
аргумента элемент y0
F
называют значением
ф-и на элементе x0
или значением
ф-и при значении аргумента x=x0
или образом
элемента x0
при отображении f
и обозначают f(x0).
При изменении аргумента значения y=f(x)
F
вообще говоря меняются в зависимости
от x.
По этой причине величину y=f(x)
часто называют зависимой
переменной.
Мн-во
всех значений ф-и, которые она принимает
на элементах мн-ва E,
называют мн-вом
значений или областью значений ф-и.
Иногда, f(E)
называют образом
мн-ва E
при отображении E
в F.
Если элементы E и F являются вещественными числами, то говорят о ф-ции действительного или вещественного переменного.
Для
ф-ции принимают следующие обозначения:
или
.
Н-р:
А-мн-во нат.чисел.
,
-отображение.
-отобр-ие.
Виды отобр-ий.
Опр Говорят что отобр f мн. Е в F является инъективным или обратимым, если 2 различных элемента из Е имеют образами при отображении f два различных элем. в F.
()
(
)
или: если
.
Пример:
f(x)=2x
задано на мн-ве Z
- инъект, т.к. если
,
Опр.
f:
EF
наз. сюрьективным,
если любой
элем мн-ва F
имеет прообраз при этом отобр. (
).
Пример: Отобр. f(x)=2x задано на мн-ве Z . не сюрьективно, т. к. напр. Ур-ие 3= 2x не имеет решения на мн-ве Z.
y=
-сюрьективно, но не иньективно.
Опр.
Пусть f
есть отобр.
Е на F.
Если любой эл-т yF
явл. при отобр. f
образом единственного эл-та x
E
то отобр. f
наз. взаимно
однозначным или биективным.
(т.е, если отобр. яв-ся инъект и сюръект).
Пример:
y=2-биекция
из R
во мн-во неотр. действ чисел, т. к.
x
!
положит знач y,
при кот-ом y=2
и
полож
y
!
знач x,
при кот-ом y=2
,
а именно x=log
y.
Опр:
Пусть
наз-ся действит.ф-ией
д-го аргум-та.
Н-р:
Способы задания функции:
-
Аналитический.
1.1Ф-я задается с помощью формул, т. е. аналитического выражения.
Пример: y=x+1
Под ф-цией, заданной некоторой формулой понимается ф-ция, определенная на мн-ве всех тех вещественных чисел, для которых:
1) указанная формула имеет смысл;
2) в ходе проведения всех необходимых вычислений получаются только вещественные числа, в случае ф-ции действительного переменного.
Опр:Естественной обл.опр.ф-ии, заданной аналитич.выраж-м, наз-ся мн-во всех тех и только тех знач.арг-та, д/кот.вып-ся весь комплекс операций, участвующий в задании ф-ий.
1.2параметрическое задание
Рассмотрим системы ф-ций:
(1).
Предположим, что ур-е
разрешимо относительно переменной t,
т.е. 1 –е уравнение имеет обратную ф-цию
,
подставив во второе ур-е, получим
(2),
где x
E(φ),
тем самым мы показали, что система задает
некоторую ф-цию y=f(x).
Переход от задания ф-ции в виде (1) к
заданию ф-ции в виде (2) называют исключением
параметра t.
Обратный переход от (2) к (1) называют
параметризацией ф-ции.
Пример:
1.3 Неявно заданные функции.
Рассм. ур-ие F(x,y)=0 (1)
Рассм.
мн-во X
т. ч.
x
X
хотя
бы одно число y,
т. ч. F(x
,y)=0.
Выберем одно из этих чисел и обозн. ч-з
.Тем
самым по средствам ур-ия (1) на мн-ве X
задана ф-ия, обозн y=f(x).
Мы имеем по усл. F(
).
Ф-ии, неявно заданные ур-ем (1) наз. неявными функциями.
Пример: y-x-1=0.
Термин неявной ф-ии отражает не характер функц-ной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же ф-ция м. б. задана как явно, так и неявно.Пр: y=x-1(явно), y-x+1=0 (неявно)
Недостатки: для нахождения знач ф-ии каждый раз необх проводить вычисления
2.Графический.
На пл-ти рассм-м систему координат и зададим кривую Г, соотв-ую пром-ку (a,b) и удовл. след-му усл-ию: любая прямая, пар-ая оси oy и прох-ая ч-з пром-к (a,b) пересекает Г только в одной точке. Такая кривая наз-ся графиком.
Опр.
Графиком ф-ии y=f(x)
наз-ся мн-во точек на пл-ти с коор-ми
(x,f(x)),
где x
E.
Недостатки: неточность
3.Табличный(табл синусов, логарифмов, квадратов, кубов, таблица Брадиса)
Недостатки: можно найти значение функции лишь в точках, определенных в таблице.
4.Описательный (словесный). Всякая формула является лишь записью некоторого где–то описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет принципиального различая между заданием функции с помощью формулы или описанного соответствия.
Пример:
Напр. D(x)=
-функция Дирихле. График этой ф-ии нельзя
построить, т.к. эта ф-ия разрывается в
каждой точке D(f)
и не интегрируема по Риману. Функция
имеет период – любое рац число, но не
имеет наименьшего периода.
Недостатки: редко используется.
5.С помощью диаграмм.
Свойства функций
Опр.
Ф-ция f
на промежутке E
является возрастающей
(убывающей)
если
,
(для убывающей
).
Если между значениями функций стоит
знак нестрогого неравенства, то функция
является неубывающей
(невозрастающей).
Пример.
Доказать, что функция f(x)=1-х
является убывающей на всем множестве
R.
Пусть x1<x2
и x1,
x2
R
произвольные, тогда f(x2)-f(x1)=1-x2-1+x1;
f(x2)-f(x1)=
x1-x2;
т.к. x1<x2,
то x1-x2<0,
значит f(x2)-f(x1)<0;
т.е. f(x1)>f(x2),
следовательно, по определению, функция
f(x)=1-x
убывает, а в силу произвольности x2
и x1
функция убывает на всем множестве R.
Опр. Функция, которая является либо невозрастающей, либо неубывающей называется монотонной. Если выполняется знак строгого неравенства, то функция строго монотонна.
Опр.
Ф-ия f:Eназ-ся
ограниченной
на Е, е/и
М>0,
т.ч.
|f(x)|<=M.
Пример: показательная функция.
Опр.
Говорят, что
ф-ция f
на E
является четной (нечетной), если: 1)
множество E
симметрично относительно 0; 2) f(-x)=f(x),
, (f(-x)=-f(x)),
xE.
Сумма 2-х чет (нечет) ф-ий есть ф-ия чет (нечет); сумма чет и нечет ф-ий есть ф-ия общ вида; произвед двух чет (нечет) ф-ий есть чет ф-ия; произвед чет и нечет ф-ий есть ф-ия нечет.
Опр.
Ф-ция f
называется периодической, если
такое, что
,
где T
–период ф-ции.
Опр.
Пусть f:Xяв-ся
сюр-ой. Возьмем y
.
Т.к ф-ия сюр-на, то сущ-ет х, т.ч. f(х)=y.
Т.о. будет определено правило, сопост-ее
y
x.
е/и это правило яв-ся ф-ей, то его наз-ют
обратной
ф-ей, а саму ф-ию обратимой.
Пример:
f(x)=2x-1,
x=(f(x)+1)/2, F(x)=(x+1)/2 – ф-ия, обратная f(x).
Опр. Ф-ия f(x) наз-ся непрерывной в точке а, е/и
1) f определена в нек-ой окр-ти точки а и конечно в самой точке а
2) сущ-ет конеч. Предел
3)
Опр. Композицией ф-ий f и g называется ф-ия, определяемая рав-вом g○f(x)=g(f(x)) для всех х, для кот первая часть рав-ва имеет смысл.
Пример: y=x2, z=2y+1, D(x)=R, D(y)=R, E(x)=[0; бескон), Е(у)=R.
Z(y(x))=2x2+1.
M2 - 2. Пон-е производной.
Диф-ть ф-ции. Диф-ал. Правила диф-ния. Диф-ние осн-х эл-ов ф-ций.
Опр4.
Касательной к графику ф-ии f(x)
в точке M0
называется прямая M0Т,
прох-ая ч/з т. M0(x0;f(x0))
и облад.тем св-ом, что
(
-угол
м/у секущей M0М
и прямой M0Т.
Уравнение касательной в точке с абсциссой x=x0, где x0графику ф-ии f y=f(x0)+f /(x0)(x- x0)
Задача о кас-ой.
Пусть
в
т. M0(x0;f(x0))
имеет касательную. Поставим з-чу: найти
угл.коэф-т кас-ой в т. x0.
д/ получ.угл.коэф-та касат.нужно перейти к пределу при ∆x→0
З-ча о мгнов.скорости
S=f(t)
Поставим задачу: найти v мгновенную в момент времени t0.
зафиксируем
от начала движ-ия
-путь
от
Дадим
времени приращение
Тгда
Опр.
Производной
от ф-ии f
в т.
наз-ся предел
(е/и он сущ) отношения приращения ф-ии в
т.
к соотв-му
приращ-ию аргумента, когда поледнее
стремится к нулю.
Н-р:
Опр.
Пусть д/
y=f(x)
; D(f)в
каж. т. мн-ва
сущ.производная,
тогда каж.
поставим в соотв-ие зн-е произв-ой в этой
т.Такое соотв-ие функц-но; на мн-ве D
оно задает ф-ию f’
, кот.наз-ся производной
ф-ией от ф-ии f.
Опр.
Ф-ия y=f(x)
наз-ся
дифференц-ой в
т.
,
е/и приращение ф-ии в этой т.м.б.представлено
в виде:
отн-но
;
Н-р:
Ф-ия дифф-ма в любой т.из R
Опр:
Пусть ф-ция у=f(х)
диф-ма в (.)-ке x0.
Главая часть приращ-я ф-ции – линейна
относ-но Δx,
наз-ся диф-лом
ф-ции в (.)-ке
x0
и обознач-ся
Теорема:
Е/и ф-ия y=f(x)
дифф-ма в т.
,
то она имеет в этой т. произ-ую, причем
произв-ая
в представлении приращения
Док-во:
Пусть у=f(х) диф-ма в (.)-ке x0, это значит, что её приращ-е
отн-но
;
Е/и
сущ.,
то
Опр.
По опр.дифф-ал независ.переменной есть
.
Е/и в опр.дифф-ал
заменить на
,
то получим
-это
инвариантная
форма дифф-ла.
Правила дифф-ия.
Т1:Пусть ф-ии f и g имеют производную в точке x0 – внутр D(f), D(g). Тогда сумма, произведение, частное этих ф-ций также имеет производную в точке x0, причем:
1. (f+g)’(x0)=f’(x0)+g(x0)
2. (fg)(x0)=f(x0)g’(x0)+f’(x0)g(x0)
3.
Док-во:x0- внутр. D(f) и D(g) |→ D(f)∩D(g)=D(f+g); (f+g)’(x0)<по опр>=
След1. Пусть x0-внутр (.) D(f). f имеет произв-ю в (.)x0, тогда ф-ия сf, где c=const имеет произв-ю в (.)x0 причем (cf)’(x0)=c(f)’(x0)
След2. x0 – внутр (.)D(f1), D(f2)… D(fn) и f1, f2…fn имеют произ-е в (.)x0. Тогда f= f1∙f2…fn т/же имеет произв-ю в (.)x0
След3.
Дифф-ие элемент-ых ф-ий
1. (sin x)’= cos x 2. (cos x)/=-sin x
3.
Док-во:
4.
(ctg x)/=
5.
(ax)/=axln
a
6. (ex)/=ex
7.
8. (ln x)/=1/х
9.
10.
11.
12.
М2-3.Основные теоремы дифференциального исчисления, их приложения к исследованию функций.
Т.
Ферма. Пусть
ф-ция f определена и непрер-вна на (a, b) и
в т.C этого интервала достигает наиб.
или наим. значение этой ф-ции на интервале
(a, b) в т.C . Если производная f
’(c)
существует, то
.
Т. Роля. Пусть ф-ция f: 1) определена и непрерывна на [a,b];
2) имеет в каждой точке интервала (a,b) производную;
3) на концах отрезка принимает равные значения: f(a)=f(b).
Тогда
существует т.C є (a,b) такая, что
Т. Лагранжа.
Пусть ф-ция f: 1) определена и непрерывна на [a,b];
2) имеет в каждой точке интервала (a,b) производную;
Тогда
сущ-ет такая т.C є (a,b), что справедливо
равенство:
Док-во:
Рассмотрим вспомогат. ф-цию F(x)=f(x)-
f(а)-
.
Для
F(x)
выпол.след.усл.1). F(x)-непрерывна
и определена на [a;b];
2). F’(x)=
f’(x)-.существует
в (a,b);3).
F(а)=0;
F(b)=
f(b)-
f(а)-
*(b-a)=0.Все
условия Т.Ролля вып-ся, следовательно
,
что F’(с)=0,Значит,
f’(с)=
.
Теорема
Коши.Пусть
ф-ции f и g:1) определены и непрерывны на
[a,b];2) f’ и g’ сущ-ут хотя бы в (a,b),причем
Тогда
существует такая т.Cє (a,b), что справедлива
формула:
Приложения: Условие постоянства функции
Т1:Е\и непрерывная на отрезке[a,b] функция f имеет хотя бы в (a,b) производную =0, то функция f- постояннана этом отрезке.
Условие монотонности функций.
Т2:для того чтобы функция f непрерывная на [a,b] и меющая производную хотя бы в (a,b) была возрастающей (убывающей) на [a,b] необх и достат чтобы 1) f’(x) на (a,b) была положительной (отрицательной); 2) f’(x)=0 выпол-сь только в отдельных точках (a,b).
Док-во:
«необх»пусть для определ-ти f(x)
сторого возрастает на [a,b] зададим
произвол-е х из [a,b].Дадим ему прирщение
Δх, что х+Δх є[a,b].Рассм-м разность
f(х+Δх)-f(x),
она >0 е\и Δх>0 и <0 е\и Δх<0, тогда
отношение
>0 будет иметь четко опред-ный
знак.
,т.е.
f’(x)
0
на(a,b). Покажем,что рав-во f’(x)=0
не выпол. ни в каком промеж-ке (a,b) .МОП
f’(x)=0
на нек. (α,β)
є(a,b), тогда f(x)-постоянна
на нем,что против-чит усл.возрастания.
«дост»пусть
f’(x)0
на (a,b) и f’(x)=0
не выпол.ни в каких промеж-ках в
(a,b).Возьмем два произ-ных знач-я x1<x2
из[a,b],т.к. f-непрер.
и имеет производную,то она обл. теми же
св0ми и на(x1,x2)
є[a,b].Применим т.Логража
f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1),где
x1<c<x2,т.к.
f’(x)
0,
то f’(с)
0,тогда
f(x2)-f(x1)
0,т.е.
f(x2)
f(x1).Покажем,что
знак рав-ва в данном случае невозможен.МОП
предпол.f(x1)=f(x2),тогда
для любого х є[x1,x2]
f(x1)
f(x)
f(x2),учит.
что f(x1)=f(x2)
и f-постоянна,что
противоречит условию.ЧТД.
Пр:f(x)=x+cosx.
D(f)=R,f’(x)=1-sinx,
для лбюбого x
из D(f)
f’(x)0.f’(x)=0
x=
+2πk,т.е.
f’(x)=0
не выпол. на R,
а только в дискретных точках.Функция
f(x)
возр-ет.
Точки экстремума.
О1:Точка
x0є
D(f)
назыв. т. нестрогого минимума(нестр.
максимума),е\и сущ-ет окрестность U(x0)
т. x0,
что для любого x
є U(x0)
выполняется нер-во: f(x0)
f(x)
(f(x0)
f(x))
О2:точка x0є D(f) назыв. т. Строгого минимума(строгого максимума)е\и сущ-ет проколотая окрестность т.x0,что для любого x из этой окрестности выполн. f(x0)<f(x)(f(x0)>f(x)).
Максимум
и минимум функции называется экстремумом.
Пр:
Необх.усл.экстремума:Т:е\и в т.х0 фун-я f имеет экстремум,то либо f’(x0)=0,либо f’(x0)- не сущ-ет.
1 дост усл-е экстремама:Т:пусть фун-я f диф-ма в некот.окр-ти(х0-δ,х0+δ) критич.т.х0 за исключ. М.б. самой т.х0 в котор.f-непрер. и ее производная сохраняет знак.Е\и при переходе ч\з т.х0 слева на право f’(x) меняет знак,то т.х0-т.экстремума,причем е\и знак производной меняется с + на - , то max , а с - на +, то min.
Первое правило нахождения экстремума
1. Находят область определения.
2.Найти критические точки ф-ции.
3.Исследовать поведение производных в окрест. крит.точек.
2 дост усл-е экст-ма:Т: Если в критич. точке ф-я f дважды дифференцируема и вторая производная в этой точке отлична от нуля, то ф-я имеет экстремум. А именно max, если втор. производная <0 и min, если вторая произв.>0.
Второе правило нахождения экстремума
1. Находят область определения
2. Найти стационарные точки
3.Найти значение второй производной в стационар. точках.
О:График ф-и f-диф-мой в т.х0 назыв. выпуклым вверх(вниз),е\и сущ-ет такая окрестность т. х0,что во всех т.этой ф-и график ф-и расположен ниже(выше) касательной к графику,провед. в т.(х0,f(х0)).
О:точка х0 назыв. т. перегиба графика ф-и f,е\и при переходе ч\з т.х0 график меняет неправление выпуклости.
Т:е\и ф-я f им. непрер. вторую производную в т. х0 и f”(x0)>0(f”(x0)<0), то график ф-и в т. х0 явл.выпуклым вверх(вниз).
Т:е\и х0-т.перегиба графика ф-и f,то в этой т. либо f’’(x0)=0,либо f’’(x0) не сущ-ет.
Т:пусть ф-я f дважды диф-ма в некот. окрестности т.х0 за искл. м.б.самой этой точки,тогда е\и при переходе ч\з т.х0 вторая производная меняет знак, то т.х0-т.перегиба.
М2-4. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.
О: Ф-я F наз. первообразной функцией для ф-и f на промежутке <a,b> е\и для любого х<a,b> справедливо рав-во: F(x) = f(x).
Т: (общ вид первообразной). Е\и в некотором промежутке <a,b> ф-я F есть первообразная для f , то и ф-я F+C, где C – const, также будет первообразной для f.
Док-во:
Дано F – первообразная для f на <a,b>, что по опр-ю означает x<a,b> F(x) = f(x). Далее x<a,b> (F(x)+C)=F(x)+C=f(x)+0=f(x), что по опр-ю означает, что F+C – первообразная■
Т: если функции F1 и F2 две первообразные для функции f на (a,b),то они могут отличаться лишь на постоянную.
Док: (F1(x)-F2(x))’=F1’(x)-F2’(x)=f(x)-f(x)=0 для всех х из (a,b). Тогда ф-я F(x)=F1(x)-F2(x) м. б. только постоянной, т.к. ее проихводная на (a,b)=0 (по теореме о признаке постоянства функции).
О.
Совокупность всех первообразных ф-й
для f
определенных на некотором промежутке
<α,β>
назыв. неопределенным
интегралом от
ф-ции f
на этом промежутке <α,β>
и обозн. символом
.
В этом обозначении символ наз. знаком интеграла, f(x)dx наз. подынтегральным выражением, f(x)наз. подынтегральной функцией.
Опр. Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла от f наз. интегрированием ф-ции f.
Осн. Св-ва неопр-ного интеграла:
1.
и
2.
3.Если 0 f(x)dx=f(x)dx
4.Если на <a,b> f(x)dx и на <a,b> g(x)dx, то на <a,b> f(x)+g(x)dx= f(x)dx +g(x)dx.
Интегр-е подстановкой
Т:Е\и
ф-я F(x)
есть первообразная для ф-и f(x)
на J,ф-я
х=φ(t)
диф-ма ф-я на пром-ке T,имеющая
значения в J
,тогда ф-я F(φ(t))
есть первообразная для ф-и f(φ(t))*φ’(t)
и имеет место рав-во
Док-во:ф-я
F(x)-первообр.
f(x)
на J,значит
след-но dF(x)=f(x)dx.Положим
х=φ(t),где
t
T:
dF(φ(t))=f(φ(t))
;
F(x)+c=
;
.ЧТД
Пр:=(lnx=t,
=dt)=
=
=
Интегрирование по частям
Пусть u,v-есть 2 диф-мые функции. Найдем диф-ал от их произведения:
duv=udv+vdu
udv=duv-vdu
∫udv=∫duv-∫vdu
∫udv=uv-∫vdu – ф-ла интегрир-я по частям
Пр:
М2-5.Определенный интеграл.Ф-ла Ньютона лейбница.Св-ва опр.интеграла и их приложения.
1.з-чи привод. к понятию опред.интеграла.
Площадь кривол.трапеции:
Пусть f- непрерыв., неотриц.1)рассм-им произвол.разбиение отрезка Т точками: a=x0<…<xi<xi+1<..xn=b
2)ч\з
них провед. Прямые ||Oy.В
рез-те трапеция разобьется на n-элементарных
кривол.трапеций. 3) На каждом отрезке
выберем произв. т.i[xi,xi+1
и проведем прямую ||Oy.
Кривол. Трапеция заменится ступенчатой
фигурой. 4)Вычислим S=f(i)(
xi+1-xi)=
f(i)xi
и обозн. ч\з
=maxxi.
5)Выведем площадь кривол.трапеции
S=
Работа переменной силы.
Пусть на материал.точку действ. Сила f(x).1)рассм-м разбиение a=x0<…<xi<xi+1<..xn=b
2)
выберем произв. т.i[xi,xi+1
и на этом отрезке действует сила
F(i).3)вычисл.работу
на i-ом
отрезке Аi=F(i)Δxi,тогда
на всех отрезках А=F(i)xi.Значит
А=
,где
-диметр разбиения.