Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ГОС / MODUL_2_mat_an.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
950.78 Кб
Скачать

2.Понятие опр.Интег-ла.

Пусть задана ф. у=f(x) на [a,b]. Разобьем [a,b] произв. образом на n частей Т: а=х0<x1<…хi<xi+1<..<xn=b, i=1,n. Обозн. ч\з =maxxi, xi = xi+1-xi. На каждом отрезке выберем произв. т.i[xi-1,xi. Составим сумму: и назовем ее интегральной суммой на [a,b] ф. f.

Е\и сущ-т I=

(>0) (>0) (<|-|<)

Он назыв. определенным интегралом от ф-и по dx на [a,b],т.е. . Числа a, b наз. соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

3.Суммы Дарбу.

Пусть f огранич. на [a,b]. Рассм-м разбиение а=х0<x1<..хi<xi+1<..<xn=b

Т.к f-огран,то f огран и на частичном [xi,xi+1-это означ,что сущ-ют m,M, что mi≤f(x)≤Mi доможим на Δхi и просуммируем, получ. Нижнюю сумму Дарбу s= mi Δхi и верх. сумму Дарбу S= Mi Δхi, s≤σ≤S.

Св-ва:1)При добавлении новых делящих точек нижняя сумма может увеличиться,а верхняя только уменьшится.2)Любая нижняя сумма не превосхидит любую верхнюю.

4.Необх и дост усл суш-ния:Т:для сущест-ния определенного интеграла,необх и дост,чтобы lim(S-s)=0 при →0.

5.Интегр-ть непрерыв.ф-и:Т:е\и ф-я непрерывна на [a,b],то она интегрируема на нем.

Док-во:f-непрер. на [a,b] по т.Кантера(всякая ф-я непрер на [a,b] равномернонепрер на нем) f-равномернонепрер. значит (>0)(Δхi<δ→ Mi- mi<).

S-s= Mi Δхi- mi Δхi=( Mi- mi) Δхi =Δхi=(b-a) след-но lim(S-s)=0,т.е. ф-я f-интегрир на [a,b].ЧТД

6.Св-ва опр.интегр.

1).

2)

Д-во:

3)

4)Если ф. f интегр-ма на [a,b] и при этом f(x)≥0, тоabf(x)dx≥0.

5) Если f и g интегр-мы на [a,b] и f(x)≤g(x) на [a,b], то ab f(x)dx≤ ab g(x)dx.

6) Если f интегр-ма на [a,b], то и ф. |f(x)| интегр-ма на [a,b] и при этом |abf(x)dx|≤ab|f(x)|dx.

7) Если f интегр-ма на [a,b] и при этом m≤f(x)≤M, то m(b-a) ≤ ab f(x)dx ≤M(b-a).

8)(Т. о среднем) Если ф. f интегр. на [a,b] и m≤f(x)≤M,то сущ-ет μ,что ab f(x)dx = μ(b-a).

7.Опр.Инт.С переменным верх.Приделом.

х[a,b] по св-ву 3 сущ-ет опр-ный интеграл. Поставим каждому такому х в соотв-е знач-е

φ(х)=

св-ва:1)е\и f-интегрируема на [a,b], то φ-непрерыв в любой точке отрезка. 2)е\и f-непрерыв на [a,b], то φ-диф-ма и φ’(x)=f(x). 8.Формула Ньютона-Лейбница: если ф-ия f непрерывна на a,b и F одна из ее первообразных, то ab f(x)dx=F(b)-F(a). Док-во: aх f(t)dt=F(x)+C. Положим х=а, след. 0=F(a)+C, тогда С=-F(a) след. aх f(t)dt=F(x)-F(a). Положим х=b, тогда ab f(t)dt=F(b)-F(a).Δ Для удобст.ab f(х)dх = F(x)|ab=F(b)-F(a).

Вычисление площадей плоских фигур

пусть кривол. трапеция с основаниями a, b и ограниченной сверху графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функцией y=f(x), тогда площадь: . Если кривол. трап. ограничена снизу и сверху кривыми: и, (a≤x≤b), то.

Пр: Вычислить S фигуры огран. y=cosx,Ох и Оу.

S=1

Объем тела вращения: , если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x) и прямыми y=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси Ox.

Длина дуги: а) если кривая задана парамет-рическими уравнениями , то

.б) если кривая задана в явной форме y=f(x), , то .

М2 – 6 Числовые ряды (Ч.р.). Признаки сход-ти. Абсол-я и условная сход-ть.

Опр. Пусть дана числ-я послед-ть (an), символ вида (1) наз-ся числовым рядом (ч.р.), a1,a2,…an,.. - члены ч.р. (1), an – общий член ряда (1).

Опр. Если посл-ть част-х сумм числового ряда (1) имеет конечный предел , то ряд (1) наз-ся сходящимся, число S наз-ют суммой ряда (1) и пишут . Если предел послед-ти част-ых сумм не сущ-ет или бесконечен, то говорят, что ряд (1) расходится.

пример

Т. Необх-й признак сход-ти: Если ч.р. (1) сходится, то его общий член → к 0 при неограниченном возраст-нии его номера.

Следствие: Если или не сущ-ет, то ряд (1) расходится.

Зам: Утвержд-е обратное Т. неверно: если , ряд (1) м/б как сход-ся, так и расход-ся.

Т. Необх.и дост.усл.сходимости полож.рядов. Д.т.ч. ряд с положительными членами сх-ся, необх.и дост., чтобы посл-ть (Sn), его частичных сумм была ограничена сверху.

Т. Признак Даламбера: Пусть для ч.р. (1), и . Если , то ряд (1) сходится, если q>1, то ряд (1) - расходится.

Док-во:

1) Пусть , . Зададим т.ч. .

(по опр. предела). По св-ву модуля: Пусть . Рассм.правую часть посл.нер-ва: при

(т.к. ряд положит.)

при

и.т.д. . Получили члены ряда членов ряда (сходится), тогда и получ.ряд сх-ся как геом.ряд со знаменателем .

2). Пусть , . Выберем т.ч. . Из нер-ва

.

при

при

и.т.д. .

члены ряда членов ряда (расходится), тогда и получ.ряд сх-ся как геом.ряд со знаменателем .

расх.по 1 приз., а он явл.ост. исх.ряда,значит, он тоже расх. ■

Зам: Если q=1, то пр-к Даламбера не дает ответ на вопрос о сход-ти или расход-ти ряда. Следует использовать другие признаки.

Пример: Исследовать на сход-ть: . 1), ; 2) , → (по пр-ку Даламбера) ряд сходится. ■

Т.Радикальный признак Коши: Пусть для ч.р. (1) и . Если , то ряд(1) сходится, если q>1, то ряд (1)- расходится.

Зам: Если q=1, то пр-к Коши не применим. Следует исп-ть др-е пр-ки

Т. Интегральный признак Коши-Маклорена: Если ф-ция y=f(x) – непрерывна, неотриц-на и не возрастает на . Если сходится, то ряд (1) сходится, если расходится, то ряд(1) расходится.

Опр. Ч.р., у к-го 2 любых соседних члена имеют разные знаки наз-ся знакочер-ся.

Т. Лейбница: Если члены знакочер-ся ряда убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при n→∞, то ряд сходится.

Док-во:

Пусть ряд т.ч. выполн. 2 условия:

1.

2. .

1. Док-ем, что ряд сх-ся. Рассм. четное число членов: (из 1 условия)

Итак, можно представить Док-ли, что -положит., возр., и огр.сверху, след-но, -сх-ся.

2. Рассм.посл-ть нечет.частич. сумм ряда

(2-ой предел=0 из 2-го условия)-след-но, ряд сх-ся. ■

Н-р:исх.ряд сх-ся

Опр. Если для ряд - сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Опр.Если сходится, а расход-ся, то говорят, что ряд сходится условно (неабсолютно).

М2 - 7 Степенные ряды. Ф-ла и ряд Тейлора. Разложение элем-ых ф-ий в ряд Тейлора.

Опр. Функц. ряд (1) , где x0, cn (n=0,1,..) –действ. числа, наз-ся степ. рядом по степеням (x-x0).

Ряд (1) заменой y=x-x0 можно свести к ряду (2).

Степ. ряд вида (1) сходится в т. x=0.

Н-р: по рад-му признаку расх-ся всюду, сх-ся только в т.x=0

Т. Абеля. Если ст. ряд сх-ся в т., то он абсолютно сх-ся в любой точке x, удовлетворяющей условию |x|<|x1, если ряд расходится в т. х2, то он расходится в любой точке х, удовл-щей усл-ю |x|>|x2|.

Док-во:

- сх-ся => (по необх. признаку сход-ти чис. ряда) , значит по свойству предела чис. послед-ти . Пусть x – фиксир-е действ-е число т.ч., . Тогда . Ряд - сх-ся, т.к. составлен из членов бесконечно убывающей геом. прогрессии (по усл ). След-но, сх-ся (по 1 признаку сравн-я)=> (по св-ву сх. рядов)=> сх-ся абсолютно.

В силу произв-ти выбора x ст. ряд явл-ся абс. сх-ся при всех x, для к-рых |x|<|x1|.

интервал и радиус сход. степ. ряда.

Теор.: для всякого сход. степ. рядаn=0anxn (1) хотябы в одной т. х0, сущ. Такой интервал (-R; R) что ряд сход. абсолютно во всякой внутр-енней т. и расход. во всякой внешней точке этого интервала.

Опр.: (-R;R) наз. интервалом сход. ряда(1), R наз радиусом сход. этого ряда.

Н-р: Исследуем на абс-ую сх-ть ряд . Этот ряд будет сх-ся при При х=-3 ряд расх-ся. При х=1 ряд расх-ся. Итак, область сх-ти ряда (1,3)

равн-ная сход. степ. ряда.

Теор.: степ. ряд n=1cnxn (1) с радиусом сход. r равн-но сход. В каж.[-r,r1], где r1<r.

непр-ность суммы степ. ряда.

Теор.: сумма степ. ряда есть ф-ия непр-ная внутри интервала сход.

Док-во: пусть х(-R; R), очевидно, что можно выбрать такое r>0, что

–R<-r<x<r<R по теор. О равн-ной сход. степ. ряда ряд сход. равн-но. Члены ряда Un(x)=an*x^n непр-на как степ. ф-ия на основании теор. Непр-ности суммы ряда непр-на на [-r;r], а след. Непр-на в т.х т.к. точка произвольная, то непр-на во всякой точке[-r;r].

задача разложения ф-ии в степ. ряд. единственность разложения.

Из теор.о почленном диф-ии степ.ряда (Теор.: степ. ряд anxn внутри его промежутка сход. можно почленно диф-ть, если S его сумма, тоS(x) непр-но диф-ма и справедливо равенство S’(x)= n=0nanxn-1 (2))следует речь о ф-ии f в степ.ряд можно ввести в случае если эта ф-ия имеет производную всех порядков в некотрм интервале в этом случае говорят, что f явл. Бесконечно диф-ной.

Теор.: если ф-ия f в (x0-R;x0+R) разлагается в степ. Ряд

an*(x-х0)n ,то лишь единствным образом.

Опр.: рядом Тейлора бесконечно диф-нойф-ии f(x) в т. х0 наз. степ. Ряд вида*(х-х0) (n)

Формула Тейлора для многочлена:

Условие разложения ф-ии в ряд Т-а

Т1. Д.т.ч.ряд Т-а ф-ии f, построен-ый в сх-ся к ней в этом инт-ле необх и дост., чтобы ост.член ф-лы Т-а→0 при n→ при всех

Т2. Е\и ф-ия f беск-но дифф-ма на [a,x] и все ее произ-ые огр-ны одним и тем же числом, то ряд Т-а для ф-ииf сх-ся к ф-ии f в [a,x].

применение формулы Тейлора к разложению некоторых элементарных ф-ий.

1) ,

1. f’(x)=ex; f’’(x)=ex;…, f(n)(x)=ex

2. Пусть x=0, . f(0)=1; f’(0)=1;…, f(n)(0)=1.

3.

4. Зафиксир-ем нек-рые х. По признаку Даламбера найдем интервал сходимости ряда

Сходится на (-∞;+∞), где х – фиксир-е число.

5. Зафиксир-ем нек-рое h>0, такое что |x|<h, тогда имеет место нер-во ex=eh, а значит построенный ряд сходится в инт-ле (-h;h). В силу того, что h можно выбрать достаточно большим, построенный ряд сходится к ф-ции y=ex на (-∞;+∞).

Итак

Пример:

  1. y=sin(x), D(y)=

  1. y=cos x, D(y)=R.

  1. y=ln(1+x), D(y)=(-1;+∞);

,

  1. y=(1+x)α,

2) f(x)=sinx

рассмотрим [-H;H], где H-произвольное

f(n) (x)=sin(x+n*П/2)

| sin(x)|=| sin(x+n*П/2)| 1 имеет место разложение в ряд Тейлора на [-H;H], т.к. H-произвольное то имеет место разложение на R

sinx=x-x3/3!+…+

(-1)nx2n-1/(2n-1)!+…=

(-1)n *x2n-1/(2n-1)! ; xR.

  1. f(x)=cosx

Cosx=1- x2/2!+x4/4! –x6/6!+…+(-1)n* x2n/(2n)!+…= (-1)n* x2n/(2n)! ; xR.

4) f(x)=ln(1+x), x>-1

Ln(1+x)= x-x2/2+x3/3+…+ (-1)n-1 (x)n/ n+…, где |x|<1

5) в (-1;1)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ГОС