3.10. Расчет магнитной энергии в пазу

Для расчета магнитной энергии в пазу воспользуемся ранее доказанной теоремой для векторов , которая устанавливает баланс магнитных энергий, имеющих различную физическую интерпретацию:

. (3.85)

Раскроем первый интеграл справа в выражении (3.85). В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность, ограничивающую расчетную область (рис. 3.35). Так как , то на всех границах, за исключением промежутка шириной, нормальная составляющая вектора Пойнтинга равна нулю .

В области шлицевой зоны составляющая вектора и вектор одинаково направлены, а это значит, что первый интеграл справа можно представить как

. (3.86)

Рис. 3.35. К определению магнитной энергии в пазу

Если учесть, что при существует только в шлицевой зоне при и на этом интервале , то выражение (3.86) значительно упростится:

. (3.87)

При имеем:

. (3.88)

Если подставить (3.88) в (3.87) и произвести интегрирование в указанных пределах, то получим

. (3.89)

Учитывая далее, что окончательно найдем:

. (3.90)

Раскроем второй интеграл в выражении (3.90). В рассматриваемом варианте , и поэтому здесь необходимо проинтегрировать по объему паза выражение для векторного потенциала. Как видно из (3.87), решение для состоит из двух слагаемых - функции координаты (первое слагаемое) и функции координат и (второе слагаемое). Поэтому при раскрытии интеграла учтем, что для первого слагаемого , а для второго - . Таким образом,

.

Так как

, (3.91)

то второе слагаемое в квадратных скобках выражения (3.91) обратится в нуль. Учитывая, что , а (ширина паза), и делая необходимые преобразования, получим

. (3.92)

Таким образом, выражение для магнитной энергии в пазу с учетом (3.90) и (3.92) приобретает вид:

(3.93)

Если сопоставить полученное выражение с выражением для магнитной энергии в открытом пазу то окажется, что наличие шлицевой зоны шириной приводит к появлению дополнительной составляющей энергии в виде суммы бесконечного числа слагаемых, зависящих от геометрии паза. Как видно, они зависят от всех геометрических размеров. При этом, если высота паза соизмерима с шириной (обычно ), то и, следовательно, выражение, стоящее под знаком суммы, целиком определяется относительной шириной открытия () шлицевой зоны паза.

Количественную оценку этой составляющей энергии можно дать либо при прямых расчетах, либо путем суммирования рядов, с результатом в виде аналитического выражения, или подбора эмпирической формулы, аппроксимирующей эту сумму.