3.5. Магнитное поле в прямоугольном пазу с двухсторонним открытием

На рис. 3.18 изображен паз, открытый со стороны зазора и ярма. В пазу с двухсторонним открытием на границах инапряженность не равна нулю. Будем считать, что в пазу существует одномерное поле, в котором, как и ранее,, а это значит что,,,,. При этом, как указано на рис. 3.18:

граничное условие 1: при ,,;

граничное условие 2: при ,,.

Рассчитаем распределение магнитного поля в пазу. Интегрируя уравнение Пуассона, как и в предыдущей задаче, получим

(3.62)

(3.63)

Рис. 3.18. Паз, открытый со стороны зазора и ярма

Постоянные интегрирования инайдем из граничных условий 1 и 2. Из граничного условия 1 и решения (3.63) имеем, отсюда

(3.64)

Из граничного условия 1 и решения (3.62) имеем , в итоге

(3.65)

(3.66)

Выражения (3.65) и (3.66) и есть окончательные решения для векторного потенциала и магнитной напряженности в прямоугольном пазу с двухсторонним открытием. Если задать значения и на границах (и), то по выражениям (3.65) и (3.66) можно рассчитать их значения в любой точке внутри паза.

Обратим внимание на то, что при двухстороннем открытии напряженность изменяется по высоте паза по линейному закону, т. е. так же, как в пазу с односторонним открытием, но при ,имеет значение. Вместе с тем при некотором значении координаты магнитная напряженность , проходя через нуль, изменяет знак. Эту точку легко определить, если заданыи. Тогда из выражения (3.66)

(3.67)

Если нулевая точка находится на середине слоя, т. е. на высоте то из (3.67)В этом случае поле в пазу описывается выражением:

При припри Вычислим в этом частном случае энергию магнитного поля:

. (3.68)

Отсюда следует, что по сравнению с (3.53) энергия в пазу за счет симметричного двухстороннего открытия уменьшается в четыре раза.

В работающей машине насыщение ярма статора, эквивалентное в магнитном отношении наличию немагнитного зазора между зубцами и ярмом, приводит к уменьшению магнитной энергии в пазу машины несмотря на то, что ярмо находится за пределами паза. Насыщение зубца практически (см. выше) не оказывает влияния на характер поля в области паза.

3.6. Эквивалентные схемы замещения прямоугольного паза при двухстороннем открытии

Исходными данными для формирования схемы будут служить геометрия паза, допущения и граничные условия, необходимые для расчета поля в пазу машины (рис. 3.19).

Далее будем считать, что нами уже решена задача теории поля и получены выражения для магнитной напряженности и векторного потенциала ( в объеме паза (это решения 3.55 и 3.56):

(3.69)

(3.70)

Рис. 3.19. К расчёту поля в пазу электрической машины

Используя эти решения, установим зависимости, связывающие между собой векторные потенциалы и магнитные напряженности на границах паза и. Запишем решения (3.69) и (3.70) для:

(3.71)

(3.72)

Отсюда

(3.73)

Сделаем подстановку (3.71) и (3.73) в (3.69), (3.70)

(3.74)

. (3.75)

Пусть далее при ().

Воспользуемся полученными выражениями (3.74) и (3.75) и запишем выражения для и :

(3.76)

(3.77)

Е

Рис. 3.20.

Рис. 3.21.

сли воспользоваться аналогией уравнений (3.76), (3.77) и уравнений Кирхгофа для электрических цепей с сосредоточенными параметрами и при этом считать, что векторный потенциал есть аналог напряжения (),а магнитная напряженность есть аналог тока , то можно утверждать, что выражение (3.77) соответствует узловому уравнению Кирхгофа для участка схемы, состоящего из трех ветвей (рис. 3.20). Но если это так, то уравнение (3.76) уже можно считать контурным, т. е. системе уравнений (3.76), (3.77) можно поставить в соответствие трехэлементную схему, изображенную на рис. 3.21. Выражения для сопротивлений в схеме получим, преобразуя (3.76) с учетом (3.77). Из (3.77) имеем

(3.78)

Умножим выражение (3.77) на , тогда

(3.79)

С помощью (3.79) исключим из (3.76) слагаемое, содержащее

Перепишем это уравнение:

(3.80)

В соответствии с этим уравнением можно утверждать, что в формируемую схему в ветви с и должны быть включены сопротивления (или их аналоги) величиной

Составим уравнение Кирхгофа для схемы на рис. 3.21:

(3.81)

Как видно, это уравнение тождественно (3.80).

С

Рис. 3.22.

ледует отметить, что при формировании схемы по рис. 3.21 использовались аналогии Если же поступить иначе и формально считать, что в уравнениях (3.78) и (3.80) соответствует не току, а напряжению, то уравнение (3.78) станет не узловым, а контурным, и следовательно, векторные потенциалы окажутся аналогами токов , для которых должно быть справедливо узловое уравнение (3.80). Построим такую схему (рис. 3.22). Если далее считать, что «» есть источник ЭДС, то (3.78) – контурное уравнение, а уравнение (3.80) – узловое уравнение Кирхгофа для замкнутой поверхности . Эта поверхность пронизывается «токами» и в противоположных направлениях (снаружи и изнутри), а также «токами» в ветвях и

По первому закону Кирхгофа для схемы (см. рис. 3.22) имеем

. (3.82)

Сопоставляя теперь (3.80) и (3.82), находим . Таким образом, схема на рис. 3.22 также полностью соответствует уравнениям (3.78), (3.80) и может быть использована при практических расчетах. Из теории цепей известно, что в ветвь с источником тока можно последовательно включить сопротивление, и это не повлияет на распределение токов в схеме. Следовательно, уравнения Кирхгофа принципиально не включают в себя сопротивления в ветвях с источниками тока, так как величина внутреннего сопротивления источника тока бесконечно велика. Однако включение последовательно с источником тока сопротивления конечной величины приведет к изменению энергетического баланса в цепи.

Действительно, если последовательно с источником () (рис. 3.23) включить некоторое сопротивление, то в этом сопротивлении будет выделяться энергия, а это значит, что при неизменных значениях и внутри схемы изменится баланс энергий. А поскольку внутренняя часть схемы эквивалентно характеризует объем паза, то при ее формировании необходимо соблюдать баланс между реальными энергиями в пазу и их эквивалентами в схеме замещения.

Рассмотрим вначале одну из интегральных теорем магнитостатики, аналогичную теореме Пойнтинга.

П

Рис. 3.23.

усть в некотором объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, распределены сторонние токи . Магнитное поле в объеме удовлетворяет уравнениям, .

Умножим скалярно первое уравнение на ,второе - на и из первого вычтем второе:

.

Учтем, что тогда.

Если проинтегрировать это уравнение по объему , то с учетом теоремы Остроградского - Гаусса:

,

где – замкнутая поверхность, ограничивающая обьем, получим

.

Здесь левая часть – энергия, развиваемая источником в виде () в объеме . В правой части слагаемое - удвоенная величина магнитной энергии в объеме; второе – энергия излучения.

П

Рис. 3.24.

рименяя эту теорему к схеме (см. рис.3.23), нужно учесть, что энергия источника сосредоточена в элементе схемы <> и в соответствии с теорией цепей должна быть равна , где- аналог напряжения на зажимах источника (рис. 3.24). Очевидно, что удвоенная магнитная энергия в объеме должна сосредотачиваться на элементах эквивалентной схемы замещения:и. При этом энергия, выделяемая в них, определяется по аналогии с мощностью в сопротивлении электрической цепи _.

Энергия излучения определяется как алгебраическая сумма произведений: и для реального паза это выражение соответствует алгебраической сумме потоков энергий при и .При этом следует отметить, что речь идет об удельных энергиях на единицу длины машины и единицу ширины паза, т. е.

.

Из рис. 3.23 следует, что в Т-образной схеме имеет размерность [Гн], [Ом·с]. Воспользовавшись выражением для баланса мощностей и сопоставив соответствующие слагаемые, можно получить выражение для определения. В общем виде операции по определениюявляются весьма громоздкими, но их можно значительно упростить, раскрывая балансы энергий для частных режимов работы системы.

В качестве таких частных режимов можно рассмотреть режим, аналогичный холостому ходу (такой режим наблюдается в цепи, когда ток в какой-либо ветви равен нулю), т.е. в схеме (см. рис. 3.21) можно положить, что в режиме холостого хода .Физически условие обозначает, что прямоугольный паз имеет одностороннее открытие. Отметим, что в случае в схеме остается ветвь с сопротивлением , источником и сопротивлением . На этом участке остается неизвестной лишь величина.

Энергия магнитного поля в пазу в режиме холостого хода () была вычислена ранее, а в рассматриваемой схеме удвоенная магнитная энергия должна сосредотачиваться в последовательно соединенных сопротивлениях и .

Значение можно определить также полагая, что. Учитывая, что приудвоенная магнитная энергия в пазу единичной длины и единичной ширины равна

,

энергия в элементах схемы определяется как , найдем, что и, следовательно,

. (3.83)

Таким образом, активная трехэлементная схема и по уравнениям поля и по энергетической теореме становится эквивалентной прямоугольному пазу с двухсторонним открытием.