Тогда вместо (3.31) получим

или

(3.36)

Таким образом, в рассматриваемом случае интенсивность поля при удалении от поверхности сердечника убывает экспоненциально. На поверхности сердечника () при этом

. (3.37)

Этот результат согласуется с тем, что на поверхности сердечника с касательная составляющаяравна линейной плотности тока.

Кривая изменения и для данного случая представлена на рис. 3.4, в.

Выразим в данном случае н.с. обмотки на один полюс через амплитуду нормальной составляющей индукции на поверхности:

. (3.38)

Согласно (3.22), (3.37) и (3.38)

(3.39)

Сравнивая эту формулу с равенством (3.28) и принимая во внимание, что для гладкого индуктора , видим, чтовеличину в (3.39) можно принять за величину условногоили эквивалентного зазора односердечникового индуктора:

(3.40)

и тогда вместо (3.39) можно написать

(3.41)

Введение величины можно трактовать в том смысле, что в односердечниковом индукторе н. с. создает на его поверхности такую же индукцию , какую такая же н. с. создает в двухсердечниковом индукторе с зазором при условии, что на протяжении зазора .

Приведенные выше соотношения были получены в предположении, что ширина индуктора бесконечно велика. Это допущение мало сказывается в случае двухсердечниковых индукторов. Однако в случае односердечникового индуктора конечной ширины поле над сердечником ослабляется, так как линии магнитной индукции в плоскости уже не будут параллельны оси , а будут расходитьсявеером.

Магнитное поле односердечникового индуктора подробно теоретически и экспериментально исследовано Э. В. Валласте и X. И. Янесом. На рис. 3.8 показаны кривые распределения магнитной индукции по ширине индуктора, имеющего следующие данные: ширина индуктора см,длина см, полюсное делениесм, число полюсов, число пазов , обмотка трехфазная с полнымшагом, число витков в фазе , фазный токА.Индукция измерялась на расстояниисм от поверхности индуктора, к этой же величине относятся расчетныезначения . На рис. 3.8 прямая 1 показывает расчетные значения по формуле (3.36), а кривая 2 – измеренные значения и значения , рассчитанные по теории Э. В. Валласте и X. И. Янеса, которая здесь не излагается. Практически экспоненциальное спадание индукции при удалении от индуктора наблюдается и при конечной его ширине.

Рис. 3.8. Кривые распределения магнитной индукции по ширине односердечникового индуктора

3.2. Одномерное магнитное поле в прямоугольном пазу с

односторонним открытием

Источниками стационарных магнитных полей в объемах электрических машин являются сторонние токи в пазах статора и ротора. Эти токи создают единое электромагнитное поле во всех конструктивных зонах машины. При строгом подходе магнитные поля выходят и за пределы машин. Характер распределения этого единого поля настолько сложен, что расчет его с учетом конкретных конструктивных особенностей машин и свойств ферромагнитных сред не представляется возможным. Поэтому в теории электрических машин, как и в других инженерных теориях, на начальной стадии исследования обосновывают и вводят допущения, которые позволяют достаточно просто аналитически описывать электромагнитные поля в локальных областях и с хорошей точностью рассчитывать интегральные характеристики машин [14].

В классической теории при исследовании полей в пазах обычно считают, что магнитная проницаемость зубцов и ярем бесконечно велика. При этом допущении удается единое электромагнитное поле разделить на отдельные составляющие (рабочее поле, поле пазового рассеяния, поле лобовых частей и т. д.) и решать в дальнейшем достаточно простые локальные задачи. А то, что реальный магнитопровод имеет магнитную проницаемость, не равную бесконечности, учитывается в дальнейшем, например, с помощью специального коэффициента насыщения_.

Дадим качественную оценку идеализации магнитопровода, к которой мы будем прибегать при исследовании магнитного поля в области паза (рис. 3.9).

О

Рис. 3.9. Магнитное поле в области паза

братимся к известным граничным условиям в магнитостатике. Для пассивной границы раздела сред,,,, и если, то,(рис. 3.10). В том случае, когда на поверхности магнитопровода расположен настил тока(А/м), то граничные условия имеют вид, а при

.

Р

Рис. 3.10.

Рис. 3.11.

ассмотрим качественно некоторые соотношения (рис. 3.11). Для пассивной границы паз – зубец при ,или. Таким образом, если, например,, то .

Отсюда следует, что даже при значительных насыщениях стали вектор магнитной индукции практически под прямым углом направлен к поверхности зубца. В будущем мы и будем использовать это обстоятельство в качестве допущения, т.е. в пазу электрической машины вектор магнитной индукции направлен под прямым углом к стенке паза. Как видно, формально это допущение оказывается аналогичным допущению о бесконечно большой магнитной проницаемости зубца. Для того, чтобы можно было исследовать поле в пазу, не выходя за пределы паза, нужно на всей поверхности, ограничивающей объем паза, задать граничные условия, так как лишь в этом случае можно, воспользовавшись теоремой единственности, получить правильное решение задачи. Характер распределения поля в пазу зависит от ряда факторов, в частности, от распределения плотности тока, формы ферромагнитных поверхностей ротора и статора, а также степени насыщения зубцов и ярем. Наиболее просто задача о расчете поля в пазу решается в том случае, когда на немагнитном промежутке при составляющая напряженности (касательная к зазору) принимается постоянной ().

При строгом подходе магнитное поле в пазу электрической машины, в том числе и открытом, принципиально не может быть одномерным, так как со стороны зазора в объеме паза на глубине, соизмеримой с его шириной, обязательно проявляют себя краевой эффект и различные внешние факторы, приводящие к искажению поля. Если глубина паза значительно превышает его ширину, то лишь в областях, прилегающих к ярму, поле можно считать практически одномерным.

Выше было показано, что комплексный вектор Пойнтинга определяется как:

_. (3.42)

Тогда можно записать:

. (3.43)

Интегрирование (3.43) по объему позволяет получить

. (3.44)

К левой части (3.44) применим теорему Остроградского-Гаусса и перепишем в следующем виде:

(3.45)

Выражение (3.45) и представляет собой теорему Пойнтинга для синусоидального электромагнитного поля. Здесь левая часть описывает комплексную мощность источников в объеме . Первое слагаемое в правой части - мощность джоулевых потерь в объеме , второе - реактивная мощность в объеме. В объеме происходит обменный процесс энергиями между электрическими и магнитными полями, а также между полями и источниками. Далее под реактивной мощностью будем понимать мощность в синусоидальном режиме, которая появляется при изменении электрической или магнитной энергии. При этом обмен энергиями происходит с двойной частотой относительно источника поля. Очевидно, что третье слагаемое - это мощность излучения, определяемая как поток вектора Пойнтинга () через замкнутую поверхность.

Если в объеме сторонние токи отсутствуют, теорема упрощается и принимает вид

. (3.46)

Таким образом, из (3.46) следует, что взятый с обратным знаком положительный поток комплексного вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность равен полной комплексной мощности, выделяемой в объеме , ограниченном этой замкнутой поверхностью. Если, например, объем - это проводник, обтекаемый током, то комплексное сопротивление этого проводника определяется как .

Но если это так, то теорема Пойнтинга позволяет рассчитывать комплексные сопротивления различных устройств по формуле

.

Отметим, что теорема Пойнтинга в комплексной форме широко применяется при расчете и исследовании электротехнических устройств (электрических машин, трансформаторов, линий электропередач и т. д.).

Поверхностный эффект. Экспериментально установлено и теоретически подтверждено, что переменный электрический ток (в том числе и синусоидальный) в отличие от постоянного неравномерно распределяется по сечению токопровода. При этом всегда существует тенденция вытеснения тока из внутренней части проводника в периферийную, т.е. плотность тока в проводнике возрастает по мере перемещения из глубины к поверхности провода. Это явление называют электрическим поверхностным эффектом. Его можно объяснить следующим образом.

Ранее указывалось, что вектор Пойнтинга имеет нормальную к боковой поверхности проводника составляющую, и это свидетельствует о проникновении в проводник энергии из окружающего пространства через эту поверхность. Одновременно отмечалось, что электромагнитные волны распространяются в направлении вектора Пойнтинга и в проводящей среде затухают в том же направлении. Но если это так, то в проводнике, обтекаемом током, плотность тока, а также электрическая и магнитная напряженности у поверхности должны быть больше, чем в глубине. Электрическому поверхностному эффекту может быть дано и другое более наглядное объяснение. Если токопровод обтекается синусоидальным током, то его внутренние части сцеплены с большим магнитным потоком по сравнению с периферийными.

В вакууме плоские электромагнитные волны независимо от частоты распространяются без затухания со скоростью света. Особенность плоских волн состоит в том, что в каждой плоскости, сформированной векторами и (рис.3.12), амплитудные и

Рис. 3.12.

ли действующие значения этих векторов остаются неизменными, а волны распространяются в сторону возрастания или убывания координаты. Вектор Пойнтинга также направлен в сторону распространения волны, т. е. энергия электромагнитного поля передается в сторону распространения волны.

Плоские электромагнитные волны в проводящей среде. Для проводящей среды коэффициент распространения

. (3.47)

Раскрыв (3.47), получим ,а это значит, что коэффициент затухания в проводящей среде определяется выражением:

.

В инженерной практике проникновение плоской волны в проводящую среду характеризуется параметром, который называют глубиной проникновения волны (- расстояние, на котором амплитуда волны при проникновении вглубь среды уменьшается в раз).

Как видно, затухание волны целиком определяется показателем экспоненциальной функции . Согласно определению, можно найти из уравнения:

.

Отсюда . Таким образом, глубина проникновения волны:

.

При проникновении внутрь проводника волна затухает тем быстрее, чем больше частота, магнитная проницаемость и удельная проводимость среды. Для проводниковых материалов (алюминий, медь) на промышленной частотесм для сплошной ферромагнитной среды, в которой магнитная проницаемость_, глубина проникновения волны резко уменьшается и составляет доли миллиметра.

Если рассмотреть две плоскости (1 и 2) в проводящей среде, отстоящие на расстоянии друг от друга, то для этих плоскостей , а поскольку,, то.

Теорема и вектор Пойнтинга в комплексной форме. Пусть вновь, как и в стационарных полях, в некотором объеме ограниченном замкнутой поверхностью(рис. 3.13), сторонними токами возбуждено электромагнитное поле.

Закон сохранения энергии позволяет утверждать, что мощность источников частично расходуется на тепло и изменение электрической и магнитной энергий в объеме, а оставшаяся часть излучается за пределы объема через поверхность, ограничивающую этот объем.

У

Рис. 3.13.

становим соотношения для этих мощностей. В качестве исходных, запишем уравнения Максвелла:

, (3.48)

. (3.49)

Перепишем уравнение (3.48) в сопряженных комплексах:

. (3.50)

Далее уравнение (3.50) скалярно умножим на ,уравнение (3.49) - на сопряженный комплекс и из (3.50) вычтем (3.49), тогда

. (3.51)

Рассмотрим произвольную точку внутри провода и определим направления векторов (рис. 3.14).Исходя из условий осевой симметрии .Так как то направлена вдоль оси провода. Очевидно, что вектор лежит в плоскости поперечного сечения провода, а это значит, что его поток через торцевые сечения равен нулю. Но если это так, то мощность в объем провода поступает из о

Рис. 3.14.

кружающего пространства через боковую поверхность провода и расходуется там на тепло. Таким образом, поскольку, то

В окружающем пространстве напряженность магнитного поля в силу осевой симметрии будет изменяться так же, как в поле линейного провода с током

На поверхности провода отсюда На боковой поверхности направлен в сторону внешней нормали (рис.3.14), а вглубь провода. Тогда на боковой поверхностипричем на всей боковой поверхности

В итоге

Этот пример говорит о том, что направление вектора Пойнтинга одновременно указывает и на направление передачи потока энергии, а величина его определяет интенсивность этого потока или поверхностную плотность мощности излучения.