14. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

Все простые числа, кроме 2 - нечетные, как и 17. Следовательно, любая сумма простого числа и 17, кроме 2 + 17, дает четное число, что не может быть простым. 2 + 17 = 19, которое тоже является простым

15. Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство НОД(a, b)*НОК(a, b) = ab.

Из определения НОД следует, что a = A НОД(a, b), b = B НОД(a, b), где НОД(A, B) = 1. Из определения НОК следует, что НОК(a, b) = AB НОД(a, b). Поэтому НОД(a, b)НОК(a, b) = ABНОД(a, b)НОД(a, b) = ab

16. Доказать, что числа «27x + 4» и «18x + 3» взаимно просты при любом натуральном x.

Допустим, что у этих чисел есть общий делитель d, где d больше единицы. Тогда:

d | (27x + 4) и d | (18x + 3)

Мы можем выразить эти числа в виде:

27x + 4 = 3(9x + 1) + 1

18x + 3 = 3(6x + 1)

Заметим, что у обоих чисел есть общий делитель 3. Поэтому, если d не равно 3, то он не может быть общим делителем обоих чисел.

Допустим, что d равно 3. Тогда:

3 | (27x + 4) и 3 | (18x + 3)

Это означает, что их можно выразить в виде:

27x + 4 = 3(9x + 1) + 1

18x + 3 = 3(6x + 1)

Таким образом, мы видим, что они имеют разные остатки при делении на 3, и поэтому не могут иметь общий делитель, больший единицы

17. a и b - натуральные числа. Известно, что a^2 + b^2 делится на ab. Докажите, что a = b.

(a^2 + b^2)//ab = a/b + b/a, что при неравных a и b всегда дает нецелое.

№19. Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

Если остаток был равен нулю, никаких изменений не произойдёт. Если же остаток не был равен нулю, то при увеличении и делимого и делителя в 3 раза частное не изменится, а остаток увеличится втрое

19. Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

Если остаток был равен нулю, никаких изменений не произойдёт. Если же остаток не был равен нулю, то при увеличении и делимого и делителя в 3 раза частное не изменится, а остаток увеличится втрое.