Лаб_03

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

ФАКУЛЬТЕТ КИБЕРБЕЗОПАСНОСТИ (КБ)

КАФЕДРА ЗАЩИЩЕННЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ (ЗСС)

______________________________________________________________________________

Отчет

по лабораторной работе №3

«Расширенный алгоритм Эвклида»

Выполнили: студенты группы ИБС-32

Проверил:

доцент кафедры ЗСС к.т.н Кушнир Д.В.

Теория

Кроме вычисления d=НОД(a,b), алгоритм Эвклида позволяет дополнительно определить два целых числа α и β, таких что:

α * a + β * b = d; (соотношение Безу)

α и β – коэффициенты Безу.

Замечание, «почти всегда» если α положительна, то β отрицательно и наоборот.

Эти два числа можно вычислять одновременно с выполнением шагов в алгоритме Эвклида по следующей схеме:

Ручной метод «прямой»:

Рассмотрим шаги получения НОД (24;15):

24 = 15 * 1 + 9

15 = 9 * 1 + 6

9 = 6 * 1 + 3

6 = 3 * 2 + 0

Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных чисел a и b:

1-й шаг: 9=24+(-1)*15

2-й шаг: 6=15-9=15-(24-15)=2*15+(-1)*24

3-й шаг: 3=9-6=24+(-1)*15-[2*15+(-1)*24]=2*24+(-3)*15; т.е. α=2; β=-3.

Алгоритм в общем виде: Найти: НОД(a,b) a  =b     *q₁    + r₁ и r₁  = α * x₁   + β * y₁ b  =r₁    *q₂    + r₂ и r₂  = α * x₂   + β * y₂ ………………………………

r_n-3=r_n-2 *q_n-1 +r_n-1 и r_n-1= α * x_n-1 + β * y_n-1 //на этом шаге получаем α,β r_n-2=r_n-1 *q_n r_n=0 Ответ: НОД(a,b)=r_n-1 //ответ – последний ненулевой остаток. Представим это в виде таблицы:

остатки	частные	x	y
a	*	x(-1)	y(-1)
b	*	x0	y0
r1	q1	x1	y1
r2	q2	X2	y2
rn-2	qn-2	xn-2	yn-2
rn-1	qn-1	xn-1	yn-1

Заметим, что в начале этой таблицы появились две дополнительные строчки.

Они нам помогут вычислить x₁ и y₁ :

x_(-1)=1, y_(-1)=0, x₀=0, y₀=1;

x_j=x_j-2-q_j*x_j-1; y_j=y_j-2-q_j*y_j-1; //Пояснение соотношений – см. лекции.

Пример расширенного алгоритма Эвклида для чисел 1234 и 54

остатки	частные	x	y
1234	*	1	0
54	*	0	1
46	22	1-22*0=1	0-22*1=-22
8	1	0-1*1=-1	1-1*(-22)=23
6	5	1-5*(-1)=6	-22-5*23=-137
2	1	-1-1*6=-7	23-1*(-137)=160
0	3	*	*

α = -7; β=160. Действительно: (-7)*1234+160*54=2. 

Нахождение обратного элемента по модулю (мультипликативная инверсия).

Определение. Обратным к числу a по модулю n называется такое число b (обычно обратное к a обозначают как a^-1), что: a*b = 1 mod n   ( a * a^-1 = 1 mod n )

Рассмотрим выражение: a * х + n * y = 1 (это и есть соотношение Безу)

возьмём от обеих частей уравнения остаток по модулю n, то получим:

a * х = 1  mod n, х – и есть обратный элемент к a. Пример: m=11, a=3; 4*3+(-1)*11=1; 4*3=1 mod 11, т.е. a^-1 = 4.

Если получаете отрицательный ответ – переведите в положительный: через n-х.

Нахождение противоположного элемента по модулю (аддитивная инверсия).

Определение. Противоположным к числу a по модулю n называется такое число b, что: a+b = 0 mod n. b записывают в виде положительного числа.

Выполнение

Вариант 16

Задание 1

а = 20 b = 12

20 = 12 * 1 + 8

12 = 8 * 1 + 4

8 = 4 * 2 + 0

1 – й шаг: 8 = 20+ (-1)*12

2 – й шаг: 4 = 12 – 8 = 12 + (-1)*20 + 1*12 = 12 * 2 + (-1) * 20

α = 2 ; β = -1, НОД(20,12) = 4

Задание 2

Листинг программы:

def extended_euclidean_algorithm(a, b): x, y, u, v = 0, 1, 1, 0 while a != 0: q, r = b // a, b % a m, n = x - u * q, y - v * q

print(f"{b} = {a} * {q} + {r}\t\t({x}, {y}) = ({u}, {v}) - {q} * ({m}, {n})") b, a, x, y, u, v = a, r, u, v, m, n gcd = b

return gcd, x, y a = int(input("Введите a: ")) b = int(input("Введите b: ")) gcd, x, y = extended_euclidean_algorithm(a, b) print(f"НОД({a}, {b}) = {gcd}") print(f"Коэффициенты x и y: x = {x}, y = {y}")

Вывод программы:

Введите a: 1542844

Введите b: 775042

775042 = 1542844 * 0 + 775042 (0, 1) = (1, 0) - 0 * (0, 1)

1542844 = 775042 * 1 + 767802 (1, 0) = (0, 1) - 1 * (1, -1)

775042 = 767802 * 1 + 7240 (0, 1) = (1, -1) - 1 * (-1, 2)

767802 = 7240 * 106 + 362 (1, -1) = (-1, 2) - 106 * (107, -213)

7240 = 362 * 20 + 0 (-1, 2) = (107, -213) - 20 * (-2141, 4262)

НОД(1542844, 775042) = 362

Коэффициенты x и y: x = 107, y = -213

Задание 3

Обратный элемент: Обратный элемент к a = 12 по модулю n = 19 равен x = 8 . Проверим:

(12 ⋅ 8) (mod 19) = 96 (mod 19) = 1

Таким образом, обратный элемент к числу 12 по модулю 19 — это a⁻¹ = 8

Вариант 3

Задание 1

а = 26 b = 44

44 = 26*1 + 18

26 = 18 + 8

18 = 8 *2 + 2

8 = 2 * 4 + 0

Нод(26, 44) = 2

18 = 44+ (-1)*26

8 = 26 - 18 = 26 + (-1)*44+1*26 = 2*26 + (-1)*44

2 = 18 - 16 = 18 - 2*8 =( 44+ (-1)26) - 2(2*26 + (-1)*44)= 44 + (-1)*26 - 4*26 - (-2)*44 = 3*44 + (-5)*26

A = -5  B=3 НОД(26,44) = 2

Задание 2

Листинг программы:

def extended_euclidean_algorithm(a, b): x, y, u, v = 0, 1, 1, 0 while a != 0: q, r = b // a, b % a m, n = x - u * q, y - v * q

print(f"{b} = {a} * {q} + {r}\t\t({x}, {y}) = ({u}, {v}) - {q} * ({m}, {n})") b, a, x, y, u, v = a, r, u, v, m, n gcd = b

return gcd, x, y a = int(input("Введите a: ")) b = int(input("Введите b: ")) gcd, x, y = extended_euclidean_algorithm(a, b) print(f"НОД({a}, {b}) = {gcd}") print(f"Коэффициенты x и y: x = {x}, y = {y}")

Вывод программы:

Введите a: 1111492

Введите b: 564422

564422 = 1111492 * 0 + 564422 (0, 1) = (1, 0) - 0 * (0, 1)

1111492 = 564422 * 1 + 547070 (1, 0) = (0, 1) - 1 * (1, -1)

564422 = 547070 * 1 + 17352 (0, 1) = (1, -1) - 1 * (-1, 2)

547070 = 17352 * 31 + 9158 (1, -1) = (-1, 2) - 31 * (32, -63)

17352 = 9158 * 1 + 8194 (-1, 2) = (32, -63) - 1 * (-33, 65)

9158 = 8194 * 1 + 964 (32, -63) = (-33, 65) - 1 * (65, -128)

8194 = 964 * 8 + 482 (-33, 65) = (65, -128) - 8 * (-553, 1089)

964 = 482 * 2 + 0 (65, -128) = (-553, 1089) - 2 * (1171, -2306)

НОД(1111492, 564422) = 482

Коэффициенты x и y: x = -553, y = 1089

Задание 3

Обратный элемент: Обратный элемент к a = 4 по модулю n = 23 равен x = 6 . Проверим:

(4 ⋅ 6) (mod 23) = 24 (mod 23) = 1

Таким образом, обратный элемент к числу 4 по модулю 23 — это a⁻¹ = 6