Лаб_05

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

ФАКУЛЬТЕТ КИБЕРБЕЗОПАСНОСТИ (КБ)

КАФЕДРА ЗАЩИЩЕННЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ (ЗСС)

______________________________________________________________________________

Отчет

по лабораторной работе №5

«Теория чисел в криптографии (часть 2)»

Выполнили: студенты группы ИБС-32

Проверил:

доцент кафедры ЗСС к.т.н Кушнир Д.В.

Практическая часть

1. Найдите целое частное и остаток от деления:

   1. -18 на 5; 

   2. n^3+2n-l на n;

а) -18/5 = -4 (2)

b) (n^3+2n-1)/n = n^2+2 (1/n)

2. Найти каноническое разложение для чисел (замечание, все сомножители не превышают число 20):

1. 711480

2. 3025269

3. 10481625

1. 711480 = 2*2*2*3*5*7*7*11*11

2. 3025269 = 3⁴ * 13³ * 17

3. 10481625 = 3² * 5³ * 7 * 11³

3. Найти функцию Эйлера для чисел 8, 19, 20, 131.

n = 8

p = 2, k =3

φ(p^k)=p^k−p^(k−1)

φ (2^3) = 2^3-2^(2)

φ(8) = 8 – 4

φ(8) = 4

n = 19

φ(19) = 19 -1

φ(19) = 18

n = 20

φ(20) = φ (4) * φ (5)

φ(4) = 4 – 2 =2

φ(5) = 5 -1 = 4

φ(20) = 2 * 4 = 8

φ(131) = 131 – 1 = 130

φ(8) = 4

φ(19) = 18

φ(20) = 8

φ(131) = 130

4. Найти функцию Эйлера для чисел (используйте разложение этих чисел на множители из предыдущего пункта):

1. 711480

Φ(711480) = φ(8)* φ(15)* φ(49)* φ(121) = 4*8*42*110 = 147840

Φ(8) = 4

Φ(15) = 8

Φ(49) = 42

Φ(121) = 110

2. 3025269

Φ(3025269) = φ(81)* φ(2197)* φ(17) = 72*2028*16 = 1752192

Φ(81) = 54

Φ(2197) = 2028

Φ(17) = 16

3. 10481625

Φ(10481625) = φ(9) * φ (125) * φ (7) * φ(1331) = 6* 100 * 6 * 1210 = 4356000

Φ(9) = 6

Φ(125) = 100

Φ(7) = 6

Φ(1331) = 1210

5. Сократите сравнения:

1. 91* x=105 mod 121; 13x = 15 mod 121

2. 91* x=105 mod 143; 13x = 15 mod 143

3. 352=90 mod 131; 176 = 45 mod 131

4. 135=528 mod 393; 45 = 176 mod 131

Задание 6:

найти представление в виде цепной дроби для отношения: (7*x+11)/43, где x – номер студента в списке группы. Количество выполненных вариантов должно совпадать с количеством студентов в бригаде.

(7*16+11)/43= (112+11)/43 = 123/43 = 2 + 37/43 = 2+ 1/43/37 = 2 + 1/(1 + 6/37) = 2 + 1/(1 + 1/37/6) = 2 + 1/(6 + 1/(6))

(7*3+11)/43 = 32/43 = 0 + 1/(43/32) = 0 + 1/(1+11/32) = 0+ 1/(1+1/(2+1/(1+1/10)))

7. На какие цифры не может оканчиваться квадрат целого числа; куб целого числа?

Квадрат: 2, 3, 7, 8

Куб: куб целого числа может заканчиваться на любую цифру

8. Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на пять

В последовательности пяти чисел обязательно будет число делящаяся на 5

Примеры:

1,2,3,4,5: число 5 в данной последовательности делиться на 5, соответственно произведение всей последовательности будет делиться на 5

12,13,14,15,16: число 15 в данной последовательности делиться на 5, соответственно произведение всей последовательности будет делиться на 5

113,114,115,116,117: число 115 в данной последовательности делиться на 5, соответственно произведение всей последовательности будет делиться на 5

9. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

Пусть есть числа а=2k+1 и b=2n+1, найдем разность квадратов

a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(2k+1-2n-1)(2k+1+2n+1)=2(k-n)2(k+n+1)=4(k-n)(k+n+1)

если k нечетное и n нечетное: (k-n) – четное => (k-n) mod 2(0) => 4(k-n)(k+n+1) делится на 8 без остатка

10. При любом натуральном n найдите наибольший общий делитель чисел: а) (n^2 + 3n + 1) и (n + 3); б) (3n^4 + 6n^2 + 1) и (n^3 + 2n).

a)

б)

11. Из определения: НОД включает в себя произведение всех общих делителей чисел a и b, соответственно он будет делиться на любой их общий делитель

12. Теория Определение 1. Любое число из класса b + km, k ∈ Z, будем называть вычетом по модулю числа m. Вычет x, удовлетворяющий неравенству 0 ≤ x < m, будем называть наименьшим неотрицательным вычетом. Пример. m=4, одним из наименьших неотрицательных вычетов будет 1. Все числа с остатком 1 при делении на 4 принадлежат классу: [1]_4, вычеты, принадлежащие данному классу: …, -7, -3, 1, 5, 9, …

Определение 2. Будем называть полной системой вычетов множество всех наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Пример. m=4, 0,1,2,3. Соответствующие классы вычетов: [0]₄  ; [1]₄  ; [2]₄  ; [3]₄

Определение 3. Будем называть абсолютно-наименьшим вычетом по модулю числа m вычет x, если он удовлетворяет неравенству: –m/2 < x ≤ m/2 при четном m; 2. –(m−1)/2≤x≤ (m−1)/2 при нечетном m. Пример. m=4, одним из абсолютно-наименьших вычетов будет -1 и соответствующий класс вычетов: [-1]₄

Определение 4. Аналогично определению 2 будем называть полной системой абсолютно-наименьших вычетов – множество всех абсолютно-наименьших вычетов по модулю m. Пример. m=4, -1,0,1,2; соответствующие классы вычетов: [-1]₄[0]₄[1]₄[2]₄ Пример. m=5, -2,-1,0,1,2; соответствующие классы вычетов:[-2]₅ [-1]₅[0]₅[1]₅[2]₅

Задание для вычетов x, y (см. свой вариант) по модулю 9 1) указать класс вычетов, которому они принадлежат. 2) заменить эти вычеты на:   2.1) наименьшие по абсолютной величине вычеты;   2.2) наименьшие неотрицательные вычеты;   2.3) вычеты, входящие в интервал [23;31] (выключая границы).

Вариант 16

x = 5 y = -124

Ответы:

1. 5 = 9*0 + 5; -124 = 9*(-14) + 2

5 ∈ [5]₉ ,

-124 ∈ [2]₉

1. m = 9, значит, считаем по формуле для нечетов m:

-(m-1)/2 <= x <= (m-1)/2

-(9-1)/2 <= x <= (9-1)/2

-4 <= x <= 4

2. 2;5

3. 5+9=14 14+9=23 23+9=32

-124-(9*15)=11 11+9=20 20+9=29 29+9=38

Ответ: 23;29

Ответ:

1. 5 ∈ [5]₉ , -124 ∈ [2]₉

2.1) -4;4

2.2) 2; 5

2.3) 23;29

3 вариант:

х = 8 у = 565

1)х=8:  8 = (0 * 9) + 8, 8 ∈ [8]₉ 

y=565:  565 = (62 * 9) + 7, 565 ∈ [7]₉ 

2.1) –(m−1)/2≤x≤ (m−1)/2 => -4<=x<=4

Ответ:-4;4

2.2) х = 8: 8 = 8 mod 9

y = 565: 565 = 7 mod 9

Ответ: 8; 7

2.3)х = 8: 8 + 9*2 = 8+18 = 26

Вычет: 26

у = 565: 7 + 9*2=7 + 18 = 25

Вычет: 25

Ответ: 26;25