МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

ФАКУЛЬТЕТ КИБЕРБЕЗОПАСНОСТИ (КБ)

КАФЕДРА ЗАЩИЩЕННЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ (ЗСС)

______________________________________________________________________________

Отчет

по лабораторной работе №4

«Теория чисел в криптографии (часть 1)»

Выполнили: студенты группы ИБС-32

Проверил:

доцент кафедры ЗСС к.т.н Кушнир Д.В.

Теория

Мультипликативная инверсия (нахождение обратного элемента по модулю) в Z_n (на множестве целых чисел) два числа a и b мультипликативно инверсны друг другу, если a·b =  1(mod n)

Например, если модуль равен 10, то мультипликативная инверсия 3 есть 7. Другими словами, мы имеем 3·7(mod 10) =  1 или 3·7 =  1(mod 10).

В модульной арифметике целое число может или не может иметь мультипликативную инверсию. Целое число и его мультипликативная инверсия сравнимы с 1 по модулю n. Может быть доказано, что a имеет мультипликативную инверсию в Z_n, если только НОД(n, a) = 1.

Нахождение мультипликативной инверсии для числа a по модулю b:

Способ 1 (обычно применяют на практике). Если НОД(a,b)=1, то существуют целые числа α и β, для которых верно равенство α·a+β·b = 1 (соотношение Безу). Данные числа (α и β) могут быть найдены по расширенному алгоритму Эвклида (см. предыдущую лабораторную работу).

Рассматривая соотношение α·a+β·b = 1, приведем его по модулю b: (α·a) mod b +(β·b) mod b= 1 => α·a= 1 mod b, т.е. коэффициент α и есть мультипликативная инверсия (обратный элемент).

Пример. Найдите обратный элемент a^-1 для a=17 по модулю 91.

1. Проверяем, что НОД(17,91)=1, значит обратный элемент существует.

2. Находим соотношение Безу для чисел a=17 и b=91. =>  91·3+17· (-16)=1, получаем: 17⋅ (−16)=1mod91. Ответ: a^-1=-16=75 mod 91.

3. Проверка 75*17 mod 91= 1.

Способ 2 (менее эффективный).

Теорема Эйлера. Для любого модуля «m» и целого числа «a», взаимно простого с «m», справедливо сравнение a^φ(m) ≡ 1mod m. Следствие: (a^-1∙a^φ(m) )≡ a^-1mod m или a^-1 ≡ a^φ(m)-1 mod m для взаимнопростых «a» и «m», где φ(m) – функция Эйлера от m.

Пример. Найдите обратный элемент a^-1 для a=3 по модулю 13.

1. Проверяем, что НОД(3,13)=1, значит обратный элемент существует.

2. Находим φ(13)=12 (так как 13 простое число, а для простого p: φ(p)=p-1) Вычисляем a^φ(m)-1 = 3^φ(13)-1=3¹¹=9 mod 13. Ответ: a^-1=9 mod 13.

3. Проверка 3*9 = 27 =1 mod 13.

Практическая часть Задание 1

Вариант 16

a = 10, m = 173 1-ый способ:

173 = 10 * 17 + 3

10 = 3 * 3 + 1

3 = 1 * 3 + 0

НОД(10, 173) = 1

3 = 173 + (-17) * 10

1 = 10 – 3*3 = 10 – 3*(173 + (-17) * 10) = 10 – 3* 173 + 10 * 51 = 10 * 52 – 3 * 173

α = 52, β = -3

a = 10 b =173 => 10*(52) + (-3) * 173 = 1

10*52 = 1 mod 173

a^-1 = 52 = 225 mod 173

проверка

225*10 mod 173 = 1

2-ой способ:

НОД(10, 173) = 1

Фи(173) = 172

10^(фи(13) - 1) = 10^171 = 52 mod 173

10 * 52 = 520 = 1 mod 173

Вариант 3

a=4, m=163 

1-ый способ:

1. НОД (4, 163) = 1

163 = 4 * 40 + 3

4 = 3 * 1 + 1

3 = 1 * 3 + 1

2. Коэффициент Безу: -1 и 41: 4*41 + 163*(-1) = 1

4*41 = 1 mod 163: a^(-1) = 41= 204 mod 163

3. Проверка:  204*4 mod 163 = 1

2-ой способ:

1. НОД(4, 163) = 1

2. ф(163) = 162 

а^(ф(м)-1) = 4^((ф(163)-1) = 4^161 = 41 mod 163

a^(-1) = 41 mod 163

3. Проверка: 4*41 = 164 = 1 mod 163

Задание 2

1. Число nnn при делении на 16 даёт в остатке 3. Какой остаток при делении на 12 даст число 3n3n3n?

Пусть число nnn имеет вид:

n=16k+3, k∈Z

Умножим обе части на 3:

3n=3(16k+3)=48k+9

Теперь найдём остаток при делении на 12:

48k+9≡0k+9≡9(mod12)

Поскольку 48k делится на 12 без остатка, остаётся 9

Примеры:

n = 19:

16 mod 19 = 3

3*n=57

57 mod 12 = 9

n = 35:

35 mod 16 = 3

3*n = 105

105 mod 12 = 9

n = 51:

51 mod 16 = 3

3 * n = 153

153 mod 12 = 9.

2. Какие остатки при делении на 24 могут иметь простое число и его квадрат?

Для простого числа p, рассмотрим его остатки при делении на 24.

• Простые числа при делении на 24 могут давать остатки: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

• Для квадрата простого числа p^2 (mod 24), остатки могут быть: Для простых чисел p из вышеуказанных остатков можно вычислить квадраты по модулю 24:

  • 12=11^2 = 112=1

  • 52=25≡1(mod24)5^2 = 25

  • 72=49≡1(mod24)7^2 = 49

  • 112=121≡1(mod24)11^2 = 121

  • 132=169≡1(mod24)13^2 = 169

  • 172=289≡1(mod24)17^2 = 289

  • 192=361≡1(mod24)19^2 = 361

  • 232=529≡1(mod24)23^2 = 529

Итак, остатки при делении на 24 для простого числа — это 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, а для квадрата простого числа — только 1.

3. Какие остатки при делении на ppp имеют квадраты и кубы целых чисел, если p=5,p=7?

Для p=5

• Остатки квадратов целых чисел при делении на 5:

  • 02≡0(mod5)0^2

  • 12≡1(mod5)1^2

  • 22≡4(mod5)2^2

  • 32≡9≡4(mod5)3^2

  • 42≡16≡1(mod5)4^2

Таким образом, остатки квадратов при делении на 5: 0, 1, 4.

• Остатки кубов целых чисел при делении на 5:

  • 03≡0(mod5)0^3

  • 13≡1(mod5)1^3

  • 23≡8≡3(mod5)2^3

  • 33≡27≡2(mod5)3^3

  • 43≡64≡4(mod5)4^3

Таким образом, остатки кубов при делении на 5: 0, 1, 2, 3, 4.

Для p=7:

• Остатки квадратов целых чисел при делении на 7:

  • 02≡0(mod7)0^2

  • 12≡1(mod7)1^2

  • 22≡4(mod7)2^2

  • 32≡9≡2(mod7)3^2

  • 42≡16≡2(mod7)4^2

  • 52≡25≡4(mod7)5^2

  • 62≡36≡1(mod7)6^2

Таким образом, остатки квадратов при делении на 7: 0, 1, 2, 4.

• Остатки кубов целых чисел при делении на 7:

  • 03≡0(mod7)0^3

  • 13≡1(mod7)1^3

  • 23≡8≡1(mod7)2^3

  • 33≡27≡6(mod7)3^3

  • 43≡64≡1(mod7)4^3

  • 53≡125≡6(mod7)5^3

  • 63≡216≡6(mod7)6^3

Таким образом, остатки кубов при делении на 7: 0, 1, 6.