4. Доказать, что остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8 равен 1.

Представим нечётное число в виде n=2a+1, где a — целое число. Тогда его квадрат:

n2=(2a+1)2=4a2+4a+1=4a(a+1)+1.

Так как a(a+1) — произведение двух последовательных чисел, одно из которых чётное, то оно делится на 2, а значит, 4a(a+1) делится на 8. Поэтому:

n2≡1(mod8).

Таким образом, остаток при делении квадрата нечётного числа на 8 всегда равен 1.

5. Доказать, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 1.

Пусть первое число a, второе — a+1. Рассмотрим сумму их квадратов:

a^2+(a+1)^2=a^2+a^2+2a+1=2a^2+2a+1.

Теперь рассмотрим эту сумму по модулю 4. Мы проверим все случаи amod  4a \mod 4amod4:

 Если a≡0(mod4), то 2a^2+2a+1≡0+0+1=1(mod4)

 Если a≡1(mod4), то 2a^2+2a+1≡2+2+1=5≡1(mod4)

 Если a≡2(mod4), то 2a^2+2a+1≡8+4+1=13≡1(mod4)

 Если a≡3(mod4), то 2a^2+2a+1≡18+6+1=25≡1(mod4)

Во всех случаях остаток от деления суммы квадратов двух последовательных чисел на 4 равен 1

6. Докажите, что сумма чисел 84+85+86+87+88+89+9084 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

Для начала найдём сумму:

84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 = 609

Теперь проверим делимость на 7 и 87

• 609/7 = 87 (0), значит, сумма делится на 7

• 609/87 =7 (0), значит, сумма делится и на 8

7. Докажите для целых чисел a и b, что если:

Вариант 1. 2a+3b делится на 7, то и a+5b также делится на 7.

Предположим, что 2a+3b≡0(mod7). Нужно доказать, что a+5b≡0(mod7)

1. 2a+3b≡0(mod7) означает, что 2a≡−3b(mod7)

2. Умножим обе части этого равенства на 4 (обратное к 2 по модулю 7, так как 2×4=8≡1(mod7):

4⋅2a≡4⋅(−3b)(mod7), a≡−12b. Так как a = −12b (mod7), получаем: a≡2b(mod7)

3. Теперь подставим a≡2b(mod7) в выражение a+5b: a+5b≡2b+5b=7b≡0(mod7)

Таким образом, если 2a+3b≡0(mod7), то a+5b≡0(mod7)

8. Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: (6n + 1) либо (6n – 1), где n - натуральное число.

Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать остатки 0, 2, 3, 4 — в любом из этих случаев оно будет составным. Возможны только остатки 1 и 5. Следовательно, простое число можно записать как 6n + 1 или 6n + 5, но 6n + 5 = 6(n + 1) - 1

9. Найти все такие натуральные числа p, что p и (5p + 1) - простые.

Все простые числа, кроме p = 2 - нечетные. 5p - всегда нечетно при нечетном p. В таком случае (5p + 1) - всегда чётно и не может быть простым. При p = 2 имеем (5p + 1) = 11, что удовлетворяет условию и является единственным решением

10. Найти все такие натуральные числа p, что p и 3p² + 1 - простые.

Аналогично №9. p = 2, 3p² + 1 = 7

11. p > 3 и p - простое число, будет ли хотя бы одно из чисел p + 1 и p - 1 а) делиться на 4? б) делится на 5?

а) Рассмотрим числа p – 1, p, p + 1, p + 2. Из четырёх последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p и не p + 2 (оба эти числа нечётны). Значит, одно из чисел p + 1 или p – 1 будет делиться на 4.

б) Например, при p = 13 оба эти числа на 5 не делятся.

12.Может ли число 3821^(14567) - 1 быть простым?

3821 - нечетное, из чего следует то, что 3821 в любой степени является нечетным. При этом 3821*n > 2 всегда. Следовательно, 3821^(14567) - 1 всегда будет четным и не может быть простым

13. Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d.  Докажите, что d делится на 6.

Если d нечётно, то среди чисел p и q есть чётное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть кратное 3, что тоже невозможно